Click to edit Master title,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,管 理 统 计 学,第一章 概率论基础知识,1.,随机实验、样本空间、概率与条件概率,一、一些基本概念,1、随机实验（Random Experiment）,2、基本事件（Elementary Event）,3、样本空间（Sample Space）,4、随机事件（Random Event）,5、相容事件（Mutually Inclusive Events）与不相容事件（Mutually Exclusive Events）,6、概率（Probability）,7、概率运算的主要性质（Properties of Probability）,（1）设A是A的对立事件，则 P（A）=1-P（A）。,（2）对任意两个事件A 和 B，有,P（A,B）=P（A）+P（B）-P（AB）,（3）若事件A,B，则,P（A）,P（B）。,8、等概率随机实验（Equally Likely Outcomes）,满足：1、实验的基本事件个数有限；,2、基本事件出现的概率相等。,如：投均匀硬币；投骰子等等,二、条件概率与概率乘法定理,1、,条件概率（Conditional Probability）,对样本空间S中的两个事件A和B，若P（A）,0，则条件概率,2、概率乘法公式（定理）（Multiplication Theorem）,对样本空间中任意两个事件A、B，有,P（AB）=P（B A）P（A）=P（A B）P（B）,3、全概率公式（The Law of Total Probability）,若A,1,，A,2,，,A,n,是对样本空间S的一个划分，则对S中的任意事件B，有全概率公式,三、贝叶斯公式（BayesRule）,1、贝叶斯公式,其中：A,1,，A,2,，,A,n,是对样本空间S的一个划分，A,k,是其中任意一个事件。,四、相互独立的随机事件的概率公式,1、相互独立定义,对任意两个事件A、B，且P（B）0,若P(A,|B,)=P(A),则称事件A与B是相互独立的.,注意:,独立与不相容的区别,.,若两个事件A,B相互独立,则有,P(A,|B,)=P(A),P（B）0;,P(B,|A,)=P(B),P（A）0;,P(A,B,)=P(A,|B,)P(B)=P(A)P(B),2,、随机变量与概率分布的基本概念,一、离散型随机变量,1、随机变量（Random Variable）,2、离散型随机变量（Discrete Random Variable）,3、离散型随机变量的概率,4、离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）,5、离散型随机变量的累积概率（Cumulative Probability）,P（X,x,）的概率称为随机变量X的累积概率。,6、离散型随机变量的累积概率分布,（Cumulative Probability Distribution）,二、连续型随机变量,1、连续型随机变量（Continuous Random Variable）,该随机变量的取值域为,一个连续区间,。,2、连续型随机变量的概率,连续型随机变量只在区间上取值，其概率值才可能为正值：,0 0,，有,若对某个固定的i，P（X=i）,0,，有,连续型：,12、相互独立的随机变量,离散型,：,若对所有的,i,，,j,，有,P（X=i/Y=,j,）=P（X=,i,）,或 P（X=,i,，Y=,j,）=P（X=,i,）P（Y=,j,）,则称随机变量X与Y是相互独立的,连续型：,定义1，若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：,定义2，,若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：,则称X与Y是相互独立的随机变量。,离散型和连续型,的随机变量相互独立的条件和定义，可用累积概率,统一表达为,：,3.,典型概率分布,1、两点分布（0-1分布）,如 投一枚硬币，出现正面概率是,p,，出现反面概率是1-,p,，,可以表示为 P（,X,=1）=,p,，P（,X,=0）=1-,p,若,X,服从两点分布，则记 X B（1，,p,）。,2、,二项分布（Binomial Distribution）,如抛,n,次硬币（又称贝努利实验）,正面出现k次（0,k n,）的概率为,二项分布记为：X B（,n,，,p,）。,3、伯松分布（Poisson Distribution）,设随机变量,X,的取值为1，2，,，若,X,=,k,的概率为,，,k,=1，2，,则 X 服从伯松分布。随机变量X的均值,，即,E（X）=,，,方差也是,，即 D（X）=。,注：,当 n 很大（如n,10,），且,p,很小（如p,0.1）时,有,其中,=,n p,4、均匀分布（Uniform Distribution）,概率分布函数可以写成：,概率密度函数可以写为：,f,（,x,）,a,b,x,5、正态分布（Normal Distribution）,概率密度函数为：,其中，x的取值为（-,，+,），,为均值，,2,为方差。,累积概率分布函数为：,当,=0，,2,=1时，正态分布,N,（0，1）称为标准正态分布。,对于,N,（，,2,），做变换z=x-/，则 z 服从,N,（0，1）,。,