*,第四章,线性方程组,4.3,齐次线性方程组解的结构,4.3,齐次线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,二、基础解系及其求法,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论 有非零解的情况。,1.,解的性质,证明,(1),由 有,(2),由 有,表明,齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,(1),若,为,的解，,也是 的解。,则,也是 的解。,故,也是,的解。,即,(2),若 为 的解，,也是,的解。,则,P118,定理,4.3,1.,解的性质,2.,解空间,称之为齐次线性方程组的,解空间,，,解空间,又称为,A,的,零空间,或者,A,的,核,。,启示,说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,齐次线性方程组 的所有解构成一个向量空间，,定义,记为,P118,二、基础解系及其求法,(1),线性无关；,满足：,(2),的任何一个解都可以由,设 为齐次线性方程组 的一组解，,定义,1.,基础解系,线性表出。,称 为方程组 的,(,一个,),基础解系,。,P118,定义,4.3,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,说明,一组基础解系,，,其中 是任意常数。,(1),齐次线性方程组,的基础解系就是其,解空间的基,，,因此基础解系是,不惟一,的。,(2),一组基础解系中所含的解向量的个数是,惟一,的，,其个数即为,解空间的维数,。,(3),如果 为齐次线性方程组,的,那么 的,通解,可表示为,P119,不妨设,A,的前,r,个列向量线性无关，,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,于是,A,可化为,设齐次线性方程组的系数矩阵,A,的秩为,初等行变换,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,相应地，齐次线性方程组,等价,(,或,同解,),变形为,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,进一步改写为,其中,是,自由未知量,，共有,(,n,-,r,),个。,由此得到方程组,A,X,=0,的,所有,解为：,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,其中，,任意取值。,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,令,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,则,(1),是方程组的一组,线性无关,的,解,，,方程组的,所有,解可由,(2),线性表示，,即,因此 是方程组的一组基础解系。,注：,具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出,基础解系，,只需按前面的求解过程完成即可。,二、基础解系及其求法,1.,基础解系,2.,基础解系的求法,3.,关于解空间的维数,定理,设,A,为 阶矩阵，,解空间 的维数为：,推论,设,A,为 阶矩阵，则,(1),齐次线性方程组,A,X,=0,的任意 个线性,无关的解都是它的,(,一个,),基础解系。,(2),A,X,=0,有非零解的充要条件是,则齐次线性方程组,A,X,=0,的,P119,定理,4.4,P120,推论,1,推论,2,例,求解齐次线性方程组,(1),对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形,解,(2),由标准阶梯形得到方程组为,(3),由此得到方程组的解：,(4),写成向量形式为,:,其中,任意取值。,其中,任意取值。,例,求解线性齐次方程组,解,初等行变换,故方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量。,由于,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中 为任意常数。,分别,例,求解线性齐次方程组,解,初等,行变换,两个线性无关的解向量。,故方程组有无穷多解，,由于,其中 为,自由未知量,。,其基础解系中有,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中 为任意常数。,分别,(1),取,求该方程组解空间的标准正交基,附：,(2),单位化,从而,B,的三个列线性相关，,故,例,设,B,是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组,的解，求,l,的值和,解,由于线性齐次方程组 有非零解，,当 时，,即 的基础解系中只含一个解向量，,因此,P122,例,8,例,设,A,为,n,阶方阵，且,r,(,A,)=,n,-,1,，证明,证,由,r,(,A,)=,n,-,1,，有,又由,A,中至少有一个,n,-,1,阶子式不等于零，,故,即 的每一列都是线性齐次方程组 的解，,(,本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过,),根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得,即 的基础解系中只含一个解向量，,不妨设为,有,则 的每一列都是 的倍数，,例,设,A,为,阶实矩阵，证明,证,(1),先证方程组 和 等价。,由,由,(2),由方程组 和 等价，有,(,解空间相等,),P122,例,9,轻松一下吧,