2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算,2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算,1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。,2、平面向量的坐标是如何定义的？,3、平面向量的运算有何特点？,1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。,类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的,任意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量,和 使得,a,1 1,a,2 2,a,=,a,1 1,a,+,2 2,a,在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量,正交分解,。,平面向量的正交分解,类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上,思考：,我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。,思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都,我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标，记作,a=(x，y),其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x,y）叫做,向量的坐标表示。,a,y,j,i,O,图 1,x,x,i,yj,平面向量的坐标表示,a=xi+yj,（1，0）,（0，1）,（0，0）,i=,j=,0=,其中i，j为向量 i，j,我们把（x,y)叫做向量a 的（直角）坐标,a,y,j,i,O,图 1,x,x,i,yj,其中xi为x i，yj为y j,ayjiO图 1xxiyj其中xi为x i，yj为y j,y,x,O,y,x,j,A（x,y）,a,如图，在直角坐标平面内，以原,点O为起点作OA=a，则点A的位,置由a唯一确定。,设OA=xi+yj，则向量OA的坐标,（x,y)就是点A的坐标；反过来，,点A的坐标（x,y)也就是向量OA,的坐标。因此，在平面直角坐标,系内，每一个平面向量都可以用,一对实数唯一表示。,i,yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原设OA,例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、,d,并求出它们的坐标。,j,y,x,O,i,a,A,1,A,A,2,b,c,d,解：由图3可知a=AA,1,+AA,2,=2i+3j,a=(2,3),同理，b=-2i+3j=(-2,3),c=-2i-3j=(-2,-3),d=2i-3j=(2,-3),例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、jyxO,平面向量的坐标运算,思考：,已知 ，,你能得出 ，,的坐标吗？,1 1,a=(x,y),2 2,b=(x,y),a+b,-,a b,a,平面向量的坐标运算思考：已知,已知，a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,)，则,a+b=(x,1,i+y,1,j)+(x,2,i+y,2,j),=(x,1,+x,2,)i+(y,1,+y,2,)j,即,a+b=(x,1,+x,2,y,1,+y,2,),同理可得,a-b=(x,1,-x,2,y,1,-y,2,),这就是说，两个向量和与差的坐标分别等,于这两个向量相应坐标的和与差。,平面向量的坐标运算,已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则这就是说，两,结论：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。,y,x,O,B(x,2,y,2,),A(x,1,y,1,),如图，已知A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,AB=OB-OA,=(x,2,y,2,)-(x,1,y,1,),=(x,2,-x,1,y,2,-y,1,),结论：yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知A(x,y,x,O,B(x,2,y,2,),A(x,1,y,1,),你能在图中标出坐标为 的P点吗？,P,yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在图中标出坐标为,已知a=(x,y)和实数,，那么,a=,(x,y)即,a=(x,y),这就是说，实数与向量的积的坐,标等用这个实数乘以原来向量的,相应坐标。,已知a=(x,y)和实数，那么,例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标,例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分,向量的正交分解与向量的直角坐标运算_1-ppt课件,练习,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道AD=（3，7），AB=（-2，1），求OB坐标。,练习 平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知,设a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),其中b是非零向量,那么可以知道，a/b的充要条件是存在一实数,，使,a=,b,这个结论如果用坐标表示，可写为,（x,1,，y,1,）=,(x,2,，y,2,),即 x,1,=,x,2,y,1,=y,2,平面向量共线的坐标表示,问题：,共线向量如何用坐标来表示呢？,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中,消去,后得,也就是说，a/b(b,0)的等价表示是,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,消去后得 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=,例,3,、已知,A,（,-1,，,-1,），,B,（,1,，,3,），,C,（,2,，,5,），判断,A,、,B,、,C,三点的位置关系。,A,B,C,例3、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断,9,、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。,2024/11/16,2024/11/16,Saturday,November 16,2024,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,11/16/2024 12:42:38 PM,11,、越是没有本领的就越加自命不凡。,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,Nov-24,16-Nov-24,12,、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,Saturday,November 16,2024,13,、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,11/16/2024,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,16 十一月 2024,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,15,、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,十一月 24,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,11/16/2024,16,、业余生活要有意义，不要越轨。,2024/11/16,2024/11/16,16 November 2024,17,、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,2024/11/16,谢谢观赏,You made my day!,我们，还在,路,上,9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2023/10/8,