单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,16 十一月 2024,几类不同增长的函数模型兔子,30 九月 2023几类不同增长的函数模型兔子,1,1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加,到了75亿只，这个国家绝大部分,地区的庄稼或草地都遭到了极大,损失。绝望之中，人们从巴西引,入了多发黏液瘤病，以对付迅速,繁殖的兔子。整个20世纪中期，,澳大利亚的灭兔行动从未停止过,。,“,指数爆炸,”模型,生态故事：“一群兔子引发的危机”,1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来,2,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？,对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的,3,例题：,例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一,：每天回报40元；,方案二,：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；,方案三,：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选,4,例1,假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供,你选择，这三种方案的回报如下：,方案一,：每天回报40元；,方案二,：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；,方案三,：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,则方案一可以用函数_进行描述；,方案二可以用函数_描述；,方案三可以用_描述。,设第x天的回报是y元，,y=40 (xN*),y=10 x (xN*),y=0.42,x,-1,(xN*),分析：1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益,还是累计回报效益？,2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？,例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供则,5,x,/天,方案一,方案二,方案三,y,/元,增长量/元,y,/元,增长量/元,y,/元,增长量/元,1,40,10,0.4,2,40,20,0.8,3,40,30,1.6,4,40,40,3.2,5,40,50,6.4,6,40,60,12.8,7,40,70,25.6,8,40,80,51.2,9,40,90,102.4,30,40,300,214748364.8,通过表格比较三种方案所得日回报的增长情况：,10,10,10,10,10,10,10,10,10,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,107374182.4,x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/,6,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,20,0,40,60,80,100,120,140,y,x,方案一:y=40,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,x,方案二,y=10 x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,x,y=0.4*2,x-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8,25.6,51.2,102.4,204.8,y=40,y=10 x,y=0.42,x-1,x,下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长,指数爆炸,12346578910200406080100120140y,7,1,2,3,4,6,5,7,8,9,10,20,0,40,60,80,100,120,140,y,y=40,y=10 x,y=0.42,x-1,x,下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长,从每天的回报量来看：,第14天，方案一最多：每58天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；,有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？,12346578910200406080100120140y,8,天数,方案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,一,二,三,40,80,120,160,200,240,280,320,360,400,440,10,30,60,100,150,210,280,360,450,550,660,0.4,1.2,2.8,6,12.4,25.2,50.8,102,204.4,409.2,816.8,投资_ 应选择第一种投资方案；,投资_应选择第二种投资方案；,投资_应选择第三种投资方案。,11天（含11天）以上，,8,10天，,1,7天，,累计回报表,结论,除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?,天数1234567891011一二三4080120,9,常数函数,一次函数,指数型函数,几种常见函数的增长情况：,增长量为0,增长量相同,直线上升,指数爆炸,增长量迅速增加,没有增长,常数函数一次函数指数型函数几种常见函数的增长情况：增长量为0,10,某公司为了实现,1000,万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到,10,万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y,(单位：万元)随着销售利润,x,(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过,5,万元，同时奖金不超过利润的,25%,。现有三个奖励模型：,y,=,0.25,x,，,y,=,log,7,x,+1,，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,例2,一次函数，,对数型函数，,指数函数。,思考,例2涉及了哪几类函数模型？,本题中符合公司要求的模型有什么条件吗,某公司为了实现1000万元利润的目标，准备,11,200,400,600,800,1000,2,3,4,5,6,7,8,1,0,可以看到：在区间10,1000上只有模型,y,=log,7,x,+1的图象始终在,y,=5的下方,通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对数函数的增长情况：缓慢增长，增长量减少,2004006008001000234567810 可以,12,200,400,600,800,1000,2,3,4,5,6,7,8,1,0,对于模型,y,=,0.25,x,，它在区间,10,1000,上递增，当,x,=,20,时，,y,=,5,，因此,x,(20,1000),时，,y,5,，因此该模型不符合要求。,通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,2004006008001000234567810 对于,13,200,400,600,800,1000,2,3,4,5,6,7,8,1,0,通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型,y,=1.002,x,，由函数图象，并利用计算器，可知在区间,(805,806),内有一个点,x,0,满足,1.002,x,0,=5,，由于它在,10,1000,上递增，因此当,x,x,0,时，,y,5,，因此该模型也不符合要求。,2004006008001000234567810 通过观,14,200,400,600,800,1000,2,3,4,5,6,7,8,1,0,通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当,x,=,1000时，,y,=,log,7,1000,+,1,4.55,5,所以它符合奖金不超过5万元的要求。,对于模型,y,=log,7,x,+,1,2004006008001000234567810 通过观,15,令,f,(,x,),=,log,7,x,+,1-0.25,x,，,x,10,1000.利用计算机作出函数,f,(,x,)的图象，由图象可知它是递减的，因此,f,(,x,),f,(10),-0.3167,0,即 log,7,x,+1,1)，对数函数 y=log,a,x(a,1)和幂函数y=x,n,(n,0)在区间（0，+）上的单调性如何？,2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？,问题提出 1.指数函数y=ax(a1)，对数,18,探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异,对于函数模型：y=2,x,y=x,2,y=log,2,x （其中x,0.）,思考1:,观察三个函数的自变量与函数值对应 表,这三个函数增长的快慢情况如何？,1.766,1.585,1.379,1.138,0.848,0.485,0,-0.737,-2.322,y=log,2,x,11.56,9,6.76,4.84,3.24,1.96,1,0.36,0.04,y=x,2,10.556,8,6.063,4.595,3.482,2.639,2,1.516,1.149,y=2,x,3.4,3.0,2.6,2.2,1.8,1.4,1,0.6,0.2,x,探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型：y=,19,x,0,1,2,3,4,5,6,7,8,y=2,x,1,2,4,8,16,32,64,128,256,y=x,2,0,1,4,9,16,25,36,49,64,思考2:,对于函数模型y=2,x,和y=x,2,，观察下列自变量与函数值对应表：,当x,0时，你估计函数y=2,x,和y=x,2,的图象共有几个交点？,x012345678y=2x1248163264128256,20,思考3:,在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.,x,y,o,1,1,2,4,y,=2,x,y,=x,2,y,=log,2,x,y,=log,2,x,思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画,21,结论1：,一般地，对于指数函数,y,=,a,x,(,a,1,)和幂函数,y,=,x,n,(,n,0),，通过探索可以发现：,在区间(0,+)上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围内，,a,x,会小于,x,n,，但由于,a,x,的增长快于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就会有,a,x,x,n,.,结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a,22,结论2：,一般地，对于指数函数,y,=log,a,x,(,a,1)和幂函数,y,=,x,n,(,n,0),，通过探索可以发现：,在区间,(0,+),上，随着,x,的增大，,log,a,x,增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与,x,轴平行一样。尽管在,x,的一定范围内，,log,a,x,可能会小于,x,n,，但由于,log,a,x,的增长慢于,x,n,的增长，因此总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就会有,log,a,x,1)，,y,=log,a,x,(,a,1)和,y,=,x,n,(,n,0)都是增函数。,(2)随着,x,的增大，,y,=,a,x,(,a,1)的增长速度越来越快，会远远大于,y,=,x,n,(,n,0)的增长速度。,(3)随着,x,的增大，,y,=log,a,x,(,a,1)的增长速度越来越慢，会远远小于,y,=,x,n,(,n,0)的增长速度。,总存在一个,x,0,，当,x,x,0,时，就有:,log,a,x,x,n,1),24,几种常见函数的增长情况：,常数函数,一次函数,指数函数,对数函数,没有增长,直线上升,指数爆炸,“慢速”增长,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,演算,推理,几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数没有,25,如果等式1告诉我们，积跬步以致千里，积怠惰以致深渊。,那么等式2则告诉我们，只比你努力一点