单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,18.2.3,正方形,的性质,(,1,),达连河镇第一中学：汪多敏,18.2.3正方形的性质(1)达连河镇第一中学：汪多敏,正方形,菱形,正方形,有一个角是,直角,创设情景,一,正方形是特殊的菱形,正方形菱形正方形有一个角是 创设情景一正方形是特殊的,问题,:,情景二,图中,CD,在平移时，这个图形始终是怎样的图形？,当,CD移动到C,D,位置，此时,AD,AB，四边形ABCD还是矩形吗？,A,B,C,D,A,B,C,D,正方形是特殊的矩形,两组互相垂直的平行线围成矩形,ABCD,问题:情景二图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当,有,一组邻边相等,且,有一个角是直角,的,平行四边形,叫做正方形。,一、正方形的定义：,_,的菱形是正方形,_,的矩形是正方形,由正方形的定义可知：,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四,四边形,平行四边形,矩形,菱形,正方形,完成下图：,四边形完成下图：,特殊的平行四边形,特殊的矩形,特殊的菱形,二、正方形的性质,:,四条边都相等,且对边平行,;,两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角,.,四个角都是直角,;,1,、边：,2.,角,:,3.,对角线,:,特殊的平行四边形二、正方形的性质:四条边都相等且对边平行;,O,A,B,C,D,(A),(B),(C),(D),4,、,既是,轴对称图形,也是,中心对称图形,有四条对称轴,OABCD(A)(B)(C)(D)4、既是轴对称图形也是中心,对称性,特征,正方形是,中心对称图形,对称中心为点O,它也是,轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,O,A,B,C,D,(A),(B),(C),(D),归纳：,对称性特征正方形是中心对称图形,对称中心为点O它也是轴对称图,例,4,求证,:,正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形,.,第一步,:,根据题意画出图形,第二步,:,写出已知,第三步：写出求证,第四步,:,进行证明,这是一道文字证明题,该怎么做,?,你会做吗,?,A,D,C,B,O,已知,:,如图,四边形,ABCD,是正方形,对角线,AC,、,BD,相交于点,O.,求证,:ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,是全等的等腰直角三角形,.,证明,:,四边形,ABCD,是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,都是等腰直角三角形,并且,ABO,BCO,CDO,DAO,分析,:,利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角,.,平分,可以产生,线段等量关系,垂直,可以产生,直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形,.,例4 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全,1,、正方形具有而矩形不一定具有的性质是,(),A,、四个角相等,.,B,、对角线互相垂直平分,C,、对角互补,.,D,、对角线相等,.,2,、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）,A、四条边相等.,B、对角线互相垂直平分.,C、对角线平分一组对角.,D、对角线相等.,B,D,尝试练习：,1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是()2、正方形具有,3.,一个正方形的面积等于,8,，则其对角线的长为,4,4,、正方形对角线长,6 ，则它的面积为,，周长为 。,36,24,5,、正方形,ABCD,的边长为,2,，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，,AE,平分,BAC,交,BD,于,E,，则,DE,的长为,2,A,B,C,D,O,E,3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为 44、,6.,如图，已知正方形,ABCD,，以,AB,为边向正方形外作等边三角形,ABE,，连结,DE,，,CE,，,则,DEC=,度,。,30,7.,如图，已知正方形,ABCD,内有一个,BEF,，,AB=6,，,AFFD=12,，,E,为,DC,的中点，则,BEF,的面积,=,。,A,B,C,D,F,E,（,7),15,6.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角,8.,如图，正方形,ABCD,的对角线的长为,10,，,M,是,AB,边上的一点，且,ME,AC,于,E,，,MF,BD,于,F,，则,ME+MF=.,9,、正方形,ABCD,中，,M,为,AD,中点，,MEBD,于,E,，,MFAC,于,F,若,ME+MF=8cm,，则,AC=,_,.,16cm,5,M,A,B,C,D,E,F,O,F,E,M,C,B,A,D,O,8.如图，正方形ABCD的对角线的长为10，M是AB边上的一,10.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是,多少？,A,B,O,P,Q,R,D,C,E,F,证,D0EC0F(ASA),1,10.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形AB,11.,已知：如图，正方形,ABCD,的对角线相交于点,O,，,M,、,N,在,OB,和,OC,上，且,MNBC,，连结,DN,、,MC,，试猜想,DN,与,MC,有什么关系？并证明你的猜想。,N,M,O,D,C,B,A,又,MNAB,OMN,1,BCO,ONM,45 OM,ON,1,2,证明：,四边形,ABCD,是正方形,OC,OD,COD=,COB=90,1,BCO,45,COMDON(SAS),DN,MC,H,3,答：,DN,MC DN,MC,（,2,）由,COMDON,得,2=3,又,3+CMO=90,2+CMO=90,DHM=90,DN,MC,11.已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在,12,、如图，四边形,ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。,（1）求证：AE=CG,（2）观察图形，猜想AE与CG的位置,关系，并证明你的猜想。,A,B D E,C,G F,(1),证,ADECDG(SAS),(2)AECG,12、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.C,13.,在正方形,ABCD,中，点,P,是对角线,AC,上一点，,PEAB,，,PFBC,，垂足分别是点,E,、,F.,求证：,DP=EF,F,E,P,D,C,B,A,证明：,连接,PB,又,PE,AB,，,PFBC,四边形,ABCD,是正方形,ABC=90,AD=AB,DAP=,BAP=45,PEB=PFB=90,四边形,PECF,是矩形,PB=EF,又,AP=AP,ADECDG(SAS),PD=PB,PD=EF,13.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB,14.,在正方形,ABCD,中，,P,为,BC,边上一点，,Q,为,CD,边上一点，如果,PQ=BP+DQ,，求,PAQ,的度数,.,Q,P,D,C,B,A,14.在正方形ABCD中，P为BC边上一点，Q为CD边上一点,15.,如图，四边形,ABCD,为正方形,EBAC,，,EC=AC,，,E,在,FB,上，求,ECB,的度数。,B,C,D,E,A,O,15.如图，四边形ABCD为正方形,EBAC，EC=AC，,数一数图中正方形的个数，你发现了什么,？,多,多,多,（）个（）个（）个（）个,第,n,个图中正方形有,个,3,n,-1,长见识,第十九章 四边形,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 （）个（,【,例,1】,已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O.,（1）E是AC上的一点，过点A作AGBE于G，AG、BD交于点F.求证：OE=OF.,（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AGBE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.,图,1,A,B,C,D,图,2,19.2.3正方形,【例1】已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O.图,【,解析,】,（,1,）要证明,OE=OF,，只需证明,BOEAOF,，要证,BOEAOF,，利用正方形性质即可；,第（,2,）问和第（,1,）问图形虽然有所变化，但实质一样，也可通过证,BOEAOF,，从而得到,OE=OF.,【,例,2】,已知：如图,3,，四边形,ABCD,是正方形，分别过点,A,、,C,两点,l,1,l,2,，作,BMl,1,于,M,，,DNl,1,于,N,，直线,MB,、,DN,分别交,l,2,于,Q,、,P,点,求证：四边形,PQMN,是正方形,.,图,3,19.2.3正方形,【解析】（1）要证明OE=OF，只需证明BOEAOF，,【,答案,】,证明：PNl,1,，QMl,1,，,PNQM,，,PNM=90,PQNM,，四边形,PQMN,是矩形,四边形,ABCD,是正方形,BAD=ADC=90,，,AB=AD=DC,（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）,1+2=90,，又,3+2=90,，,1=3,ABMDAN,AM=DN,同理,AN=DP,AM+AN=DN+DP,即,MN=PN.,四边形,PQMN,是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）,19.2.3正方形,【答案】证明：PNl1，QMl1，PNQM，PN,谢谢！,谢谢！,