*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章金属自在电子气模型,1 金属的Drude模型,金属在固体特性的研讨中占据重要位置：元素单质资料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热导率等。尝试对金属特性的了解也是现代固体实际的发端。,在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据气体运动论建立了金属自在电子气模型，把金属中的电子看到由电子组成的理想气体。,作为研讨金属特性的Drude模型在1900年提出，如今依然被用来迅速了解金属及其它一些资料的特性。这个模型后来经过稍许修正就获得了宏大胜利。,1.Drude模型,1传导电子和芯电子,Na:K L M,1s 2s2p 3s,2 8 1,Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm,Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,1.Drude模型,1传导电子和芯电子,Na:K L M,1s 2s2p 3s,2 8 1,芯电子(core electrons),Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm,Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,传导电子,conduction electron,1.Drude模型和凝胶模型,1传导电子和芯电子,凝胶模型 Jellium model,金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金属中原子的结合力。金属外表存在着一种把传导电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部，势能是均匀的，好似传导电子在一个均匀的势场中运动，相对势能为零。,2)传导电子密度,传导电子密度 n：单位体积的传导电子数,原子数/mole:N0=6.022 1023，Avogadro常数,mole数/cm3:m/A,其中 m是金属的质量密度g/cm3，A是元素的原子量,Z是每个原子奉献的价电子传导电子数目,电子密度,对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想气体的密度高上千倍,将每个电子平均占据的体积等效成球体，那么：,定义电子占据体积的等效球半径：,rs的典型值。,3)Drude模型的假设,1自在电子近似Free electron approximation：,忽略电子离子的相互作用,独立电子近似Independent electron approximation：,忽略电子电子之间的相互作用,2电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改动也是忽然的。,3电子在dt时间所受碰撞的几率正比于,dt/,通常被成为弛豫时间Relaxation time，相应的近似被成为弛豫时间近似Relaxation time approximation。,这个图像所描画的碰撞过程为：电子在某时辰遭到碰撞，电子的速度瞬时被改动，然后电子的运动为自在运动，假设存在外场，会遭到外场力的作用，电子平均自在运动时间后再一次遭到碰撞。,4电子经过碰撞处于热平衡形状。电子热平衡的获得被假定经过一个简单的途径到达，即碰撞前后的速度没有关联电子对本人的速度历史没有记忆。,电子热平衡分布满足Bolzmann统计 经典统计,Drude模型所描画的遭到离子散射的电子运动轨迹。,2.金属的直流电导,这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？,欧姆定律Ohms law：,欧姆定律更普通的方式微分方式：,按照Drude模型分析：,假定t时辰电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有遭到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的奉献为,(1.2.1),1)电导率,上式中F(t)是电子所受的外力。,对于遭到碰撞的电子对平均动量的奉献：,这部分电子的比率为dt/，它们遭到碰撞后无规取向动量无规取向对平均动量无奉献。这部分电子对平均动量的奉献在于遭到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt时辰或之前，因此对平均动量的总奉献小于,这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。,(1.2.2),(1.2.2)式在一级近似下为,(1.2.3),更简练的方式为,(1.2.4),引入外场作用下电子的漂移速度Drift velocityd,(1.2.5),碰撞的作用，相当于一个阻尼项,对于恒定外电场的稳态情况，,(1.2.5)式为：,(1.2.6),相应地：,(1.2.8),(1.2.7),mole数/cm3:m/A,其中 m是金属的质量密度g/cm3，A是元素的原子量,1s 2s2p 3s,Na:K L M,其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子,Drude 模型是自洽的。,Drude 模型是自洽的。,原子数/mole:N0=6.,芯电子(core electrons),将每个电子平均占据的体积等效成球体，那么：,电子热平衡分布满足Bolzmann统计 经典统计,定义电子占据体积的等效球半径：,按照Drude模型分析：,Na 固体 最近邻原子间距 0.,第四章金属自在电子气模型,2金属中电子的弛豫时间,(1.2.9),在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm，假设电阻值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：,其中，为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，a0为玻尔半径。,金属Cu的室温电阻率=1.5610-6Ohm-cm,=2.7 10-14 sec,(1.2.10),3金属中电子的平均自在程,在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，,那么 l=1 nm,Drude 模型是自洽的。,l=v0;而 mv02/2=3kBT/2,3.金属热导率,当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：,此即Fouriers Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度梯度。金属的热导率普通大于绝缘体的，因此金属的热导率可以归结为自在电子的奉献。按照Drude模型，我们可以套用理想气体热导率公式得：,(1.5.1),(1.5.2),其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子,平均自在程，是电子弛豫时间。,计算比值：,运用经典统计的结果：,我们有：,(1.5.3),(1.5.4),(1.5.5),(1.5.6),这就是Wiedemann-Franz关系，该常数被称为Lorenz数Lorenz number。实践上，Lorenz数比上述值大一倍。,这是Drude模型所无法解释的。其实，Drude模型可以给出,数量级正确的结果也是由于巧合，对CV估计大了两个数量级，对v2估计小了两个数量级。,(1.5.7),(1.5.8),1Lorenz 数：数量差2倍，且与温度有关,2电子比热：量差100倍，高温(RT以上)与温度无关,3电导率：与温度有关,实际值与实验值相差100倍！,偶尔 or 必然？,4.Drude模型的缺乏,