,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,#,矩阵分析,矩阵分析,第一节 线性空间,一：线性空间的定义与例子,定义,设 是一个非空的集合，是一个数域，,在集和 中定义两种代数运算,一种是加法运算,用 来表示,;,另一种是数乘运算,用 来表示,并且,这两种运算满足下列,八,条运算律：,第一章,线性空间和线性映射,第一节 线性空间一：线性空间的定义与例子定义,（,1,）加法交换律,（,2,）加法结合律,（,3,）零元素 在 中存在一个元素 ，使得对,于任意的 都有,（,4,）负元素 对于 中的任意元素 都存,在一个元素 使得,（,5,）,（1）加法交换律（2）加法结合律,（,6,）,（,7,）,（,8,）,称这样的 为数域 上的,线性空间,。,例,1,全体实函数集合 构成实数域 上的,线性空间。,例,2,复数域 上的全体 型矩阵构成,的集合 为 上的线性空间。,（6）（7）,例,3,实数域 上全体次数小于或等于 的多项,式集合 构成实数域 上的线性空间,例,4,表示实数域 上的全体无限序列组成的,的集合。即,例 3 实数域 上全体次数小于或等于,在 中定义加法与数乘：,则 为实数域 上的一个线性空间。,例,6,在 中满足,Cauchy,条件的无限序列组成的,子集合也构成 上的线性空间。,Cauchy,条件是：,使得对于 都有,在 中定义加法与数乘：,定义,:,线性组合；线性表出；线性相关；线性无关,；向量组的极大线性无关组；向量组的秩,基本性质：,（,1,）含有零向量的向量组一定线性相关；,（,2,）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；,（,3,）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向,量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相,关；,（,4,）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不,唯一；,（,5,）如果向量组（,I,）可以由向量组（,II,）线性表出，,那么向量组（,I,）的秩 向量组（,II,）的秩；,（,6,）等价的向量组秩相同。,二：线性空间的基本概念及其性质,定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关二：,例,1,实数域 上的线性空间 中，函数组,是一组线性无关的函数，其中 为一,组互不相同的实数。,例,2,实数域 上的线性空间 中，函数组,是一组线性无关的函数，其中 为一,组互不相同的实数。,例,3,实数域 上的线性空间 中，函数组,也是线性无关的。,例 1 实数域 上的线性空间,定义,设 为数域 上的一个线性空间。如果在,中存在 个线性无关的向量 使得,中的任意一个向量 都可以由,线性表出,则称 为 的一个,基底,；,为向量 在基底 下的,坐标,。此时我们,称 为一个 维线性空间，记为,例,1,实数域 上的线性空间 中向量组,与向量组,线性空间的基底，维数与坐标变换,线性空间的基底，维数与坐标变换,都是 的基。是,3,维线性空间。,例,2,实数域 上的线性空间 中的向量组,与向量组,都是 的基。是,4,维线性空间。,例,3,实数域 上的线性空间 中的向量组,与向量组,都是 的基底。的维数为,注意：,通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不,唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性,空间可以分为,有限维线性空间,和,无限维线性空间,。目,前，我们主要讨论,有限维的线性空间,。,例,4,在,4,维线性空间 中，向量组,与向量组,是其两组基，求向量 在这两组基下的,坐标。,解,：设向量 在第一组基下的坐标为,于是可得,解得,同样可解出在第二组基下的坐标为,于是可得,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相,同的。,基变换与坐标变换,设 （,旧的,）与 （,新的,）,是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相,将上式,矩阵化,可以得到下面的关系式：,称 阶方阵,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：,是由旧的基底到新的基底的,过渡矩阵,，那么上式可以写成,定理,：过渡矩阵 是可逆的。,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,任取 ，设 在两组基下的坐标分别为,与 ，那么我们有：,称上式为,坐标变换公式,。,例,1,在,4,维线性空间 中，向量组,任取 ，设 在两组基下的坐,与向量组,与向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，,并求向量 在这两组基下的坐标。,解,：容易计算出下面的矩阵表达式,为其两组基，求从基,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,向量 第一组基下的坐标为,利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,向量 第一组基下的坐标为,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,例,2,教材,13,页例,1.2.6,第三节 线性空间的子空间,定义,设 为数域 上的一个 维线性空间，,为 的一个非空子集合，如果对于任意的,以及任意的 都有,那么我们称 为 的一个,子空间,。,例,1,对于任意一个有限维线性空间 ，它必有,两个,平凡的子空间,，即由单个零向量构成的子空间,例 2 教材13页例1.2.6,以及线性空间 本身。,例,2,设 ，那么线性方程组 的,全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为,齐次线性方程组的解空间,。当齐次线性方程组,有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。,例,3,设 为 维线性空间 中的,一组向量，那么非空子集合,以及线性空间 本身。,构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。,的基底即为向量组,的极大线性无关组，的维数即为向量组,的秩。,例,4,实数域 上的线性空间 中全体,上三角,矩阵集合，全体,下三角,矩阵集合，全体,对称,矩阵集合，全体,反对称,矩阵集合分别都构成 的子空间，,构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子,问题,：这几个子空间的基底与维数分别时什么？,子空间的交与和,问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？,7.,线性变换的特征值与特征向量,定义,设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素 ，中都存在一个非零向量 ，使得,那么称 为 的一个,特征值,，而 称为 的属于特征值 的一个,特征向量,。,现在设 是数域 上的 维线性空间，,中取定一个基 ，设线性变换 在这组基下的矩阵是 ，向量 在这组基下的坐标是 ，。那么我们有,7.线性变换的特征值与特征向量,由此可得定理,：,是 的特征值 是 的特征值,是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量,因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,例,1,设 是数域 上的,3,维,线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,求 的全部特征值与特征向量。,解：的特征多项式为,例 1 设 是数域 上的3维线性,所以 的特征值是 （二重）与 。,对于特征值 ，解齐次线性方程组,得到一个基础解系：,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,于是 的属于 的全部特征向量是,这里 为数域 中不全为零的数对。,对于特征值 ，解齐次线性方程组,得到一个基础解系：,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,于是 的属于 的全部特征向量,这里 为数域 中任意非零数。,相似矩阵的性质,：,相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组,值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。,矩阵的特征值与特征向量的性质,：,（,1,）阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的,特征子空间,，记为 ，不难看出 正是特征方程组,的解空间。,（,2,）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。,（,3,）设 是 的 个互不同的特征值，的几何重数为 ，是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量,仍然是线性无关的。,（,4,）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。,（3）设,（,5,）一个特征向量不能属于不同的特征值。,8.,矩阵的相似对角化,定义,数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为,可以对角化的,，如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。,我们在 中取定一个基底 ，设线性变换 在这个基下的矩阵为 ，那么可以得到下面的定理,定理,：可以对角化 可以对角化。,定理,：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。,有 个线性无关的特征向量。,定理,：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,每一个特征值的代数重数等于其几何重数。,例,1,判断矩阵,是否可以对角化？,解,：先求出 的特征值,有 个线性无关的特征向量。,于是的特征值为 （二重）,由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,于是,从而,不可以相似对角化,。,例,2,设 是数域 上的,3,维,线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,判断是 否可以对角化？,解：根据前面例题的讨论可知 有,3,个线性无关的特征向量,:,因此 可以对角化，在这组基下的矩阵是,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,由基 到基 的过渡矩阵是,于是有,经济类硕士必修课之矩阵分析课件,例,3,数域 上的 维线性空间 的任一幂等变换一定可以对角化。,第二章 矩阵与矩阵的,Jordan,标准形,例 3 数域 上的 维线性空间,再见！,再见！,再见！再见！,贯彻,ISO9000,标准，树企业新形象。,11月-24,11月-24,Saturday,November 16,2024,安全第一，贵在行动，预防为主，从我做起。,08:32:17,08:32:17,08:32,11/16/2024 8:32:17 AM,质量是提高企业效益的保证。,11月-24,08:32:17,08:32,Nov-24,16-Nov-24,安全与效益连在一地，效益与利益连在一起。,08:32:17,08:32:17,08:32,Saturday,November 16,2024,争创第一流，不搞,豆腐渣,。,11月-24,11月-24,08:32:17,08:32:17,November 16,2024,节约应从点滴做起。,2024年11月16日,8:32 上午,11月-24,11月-24,加强安全生产规范化管理，推动安全生产标准化建设。,16 十一月 2024,8:32:17 上午,08:32:17,11月-24,安全生产挂嘴上，不如现场跑几趟。,十一月 24,8:32 上午,11月-24,08:32,November 16,2024,作业标准记得牢，架轻就熟除烦恼。,2024/11/16 8:32:17,08:32:17,16 November 2024,保安全千日不足，出事故一日有余。,8:32:17 上午,8:32 上午,08:32:17,11月-24,人车分离，各行其道，一人安全，全家幸福。,11月-24,11月-24,08:32,08:32:17,08:32: