单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,勾股定理与它的逆定理的证明,勾股定理与它的逆定理的证明,1,教学目标：,1进一步掌握推理的方法，发展演绎推理能力。,2了解勾股定理及其逆定理的证明方法。,3灵活运用勾股定理的逆定理。,教学目标：,2,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a,2,+b,2,=c,2,.,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）,.,a,c,b,勾,弦,股,我们曾经利用什么方法得到勾股定理？,勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a,3,勾股定理的证明,方法一,:拼图计算,方法二,：割补法,方法三,：赵爽的弦图,方法四,：总统证法,方法五,：青朱出入图,方法六,：折纸法,方法七,：拼图计算,这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?,勾股定理的证明方法一:拼图计算这些证法你还能记得多少?,4,A,B,C,图1-2,4,4,8,方法一：数方格,ABC图1-2448方法一：数方格,5,方法二：拼接图形证明,将四个全等的直角三角形拼成如图正方形,方法二：拼接图形证明将四个全等的直角三角形拼成如图正方形,6,拼接图形证明二(赵爽弦图）,拼接图形证明二(赵爽弦图）,7,总统证法,这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统,在 1876,利用了梯形面积公式。,图中三个三角形面积的和是,2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;,比较可得:,c,2,=a,2,+b,2,。,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,勾股定理不只是数学家爱好，还有达芬奇画家证法等等。,a,b,a,b,c,c,总统证法这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德(,8,方法四：欧几里得证明方法,（课本20页,自己课下阅读）,方法四：欧几里得证明方法,9,勾股定理:,直角三角形,两条直角边,的平方和,等于斜边的平方.,反之,在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是直角三角形。,你能证明吗？,勾股定理:直角三角形两条直角边反之,在一个三角形中,当两边的,10,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.,已知:如图(1),在ABC中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证:ABC是直角三角形.,a,c,b,A,B,C,(1),方法一:度量法:,方法二:证明,分析:由边的关系推出角是90度,是不容易的,如果能借助于ABC与一个直角三角形全等,导出A=90,即可.,勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么,11,逆定理的证明,证明:作Rt,ABC,使C,=90,0,A,C,=AC,B,C,=BC(如图),则,已知:如图(1),在ABC中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证:ABC是直角三角形.,a,c,b,A,B,C,(1),a,c,b,B,A,C,(2),A,C,2,+B,C,2,=A,B,2,(勾股定理).,AC,2,+BC,2,=AB,2,(已知),A,C,=AC,B,C,=BC,(作图),AB,2,=A,B,2,(等式性质).,AB=A,B,(等式性质).,ABC,ABC,(SSS).,C=C,90,0,(全等三角形的对应边).,ABC是直角三角形(直角三角形意义).,逆定理的证明证明:作Rt ABC使C=900,12,几何的,三种语言,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.,这是判定直角三角形的根据之一,.,在ABC中,AC,2,+BC,2,=AB,2,(已知),ABC是直角三角形(,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,).,a,c,b,A,B,C,(1),几何的三种语言勾股定理的逆定理这是判定直角三角形的根据之一,13,应用1:下列选项的各组数中,能构成的是直角三角形的三边(),A 0.3,0.4,0.5 B 6 ,7 ,8,C 15 ,20 ,30 D 6 ,11,21,点评:先去掉D答案,再利用两条较短边的平方和能否等于最长边的平方.验一次即可.,应用1:下列选项的各组数中,能构成的是直角三角形的三边(,14,应用2:,在ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm,求证AB=AC.,A,B,C,D,13,12,5,应用2:在ABC中,AB=13cm,BC=10cm,AB,15,应用3、有一块三角形空地，它的三边分别长45m，60m，70m，已知60m长的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？,60m,又,45,+,60,70,所以没有一条边线为东西向,这三条边不能组成直角三角形,所以没有一条边线与60米的线垂直,应用3、有一块三角形空地，它的三边分别长45m，60m，70,16,命题与逆命题,直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方.,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么,这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.,命题与逆命题直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三,17,命题与逆命题,如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果两个角相等,那么它们是对顶角;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;,三角形中相等的边所对的角相等,三角形中相等的角所对的边相等.,再观察下面三组命题,的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.,命题与逆命题如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果小明患了肺,18,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,你能写出命题“,如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”,的逆命题吗?,它们都是真命题吗?,想一想:,一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?,命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一,19,定理与逆定理,一个,命题,是真命题,它逆命题却,不一定,是真命题,.,我们已经学习了一些互逆的定理,如:,勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.,你还能举出一些例子吗?,想一想:,互逆命题与互逆定理有何关系?,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们,20,蓄势待发,老师提示:,你是否能将有关命题的知识予以整理,.,说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:,四边形是多边形;,两直线平行,同旁内角互补;,如果ab=0,那么a=0,b=0.,请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.,蓄势待发老师提示:说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真,21,学无止境,勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！,古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的,.,P19读一读：,勾股定理的证明.,学无止境P19读一读：,22,学无止境,历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。,P18读一读：,勾股定理的证明.,学习永远是件快乐而有趣的事！,勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！,学无止境 历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人,23,回味无穷,勾股定理:,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a,2,+b,2,=c,2,.,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）,.,勾股定理的逆定理:,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,定理与逆定理,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,回味无穷勾股定理:,24,知识的升华,独立,作业,1、P,19-20勾股定理的证明,2、,P21-22的1-5题,祝你成功！,知识的升华独立 1、P19-20勾股定理,25,3在正方形ABCD中,F为CD的中点,E为,C上的一点,且EC=BC,求证:,EFA=90,1,4,A,B,C,D,E,F,.,.,方法一:利用相似证明,.,方法二:利用勾股定理计算,三边,再利用勾股定理逆定,理判定是直角三角形.,3在正方形ABCD中,F为CD的中点,E为14ABCDEF.,26,习题1.4,驶向胜利的彼岸,1.如图，在,ABC,中，已知,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.,求证,:AB=A,C.,证明:BD=CD,BC=10cm(已知),BD=5cm(,等式性质,).,AD,2,+BD,2,=12,2,+5,2,144+25=169,AB,2,=13,2,=169,AD,2,+BD,2,=AB,2,.,D,B,C,A,在ABD中,ABC是直角三角形(,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,).,在RtADC中,AC,2,=DC,2,+AD,2,=12,2,+5,2,144+25=169,AC,2,=AB,2,.,AB=AC(等式性质).,习题1.4 驶向胜利的彼岸1.如图，在ABC中，已知AB=,27,习题1.4,2.房梁的一部分如图所示,其中,BCAC,A=30,0,AB=10m,CB,1,AB,B,1,C,1,AC,垂足为B,1,C,1,那么BC的长是多少？,B,1,C,1,呢？,解:,BCAC,A=30,0,AB=10m,(已知),BC=AB/2=1025,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,),又CB,1,AB,BCB,1,=90,0,-60,0,=30,0,(,直角三角形两锐角互余,),BB,1,=BC/2=522.5,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,).,老师提示:,对于含30,0,角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,B,C,A,30,0,B,1,C,1,AB,1,=AB-BB,1,=10-2.5=7.5,(,等式性质,).,B,1,C,1,=AB,1,/2=7.523.75,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,0,那么它所对的直角边等于斜边的一半,).,习题1.4 2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=,28,习题1.4,3.如图,正四棱柱的底面边长为5c,m,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从,正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点,C,1,处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,解:,如下图,将,四棱柱的侧面展开,连结AC,1,AC=10cm,CC,1,=8cm,(已知),老师提示:,对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.,B,C,A,B,1,C,1,D,1,A,1,D,B,A,B,1,D,1,A,1,D,C,1,C,答:蚂蚁需要爬行的最短路径是