单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,等差数列,第二章 数列,第一课时,2.2 等差数列第二章 数列 第一课时,一、数列的定义，通项公式,:,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成,a,1,a,2,，,a,3,a,n,如果数列,a,n,的第,n,项,a,n,与,n,的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,二、数列的简单表示,:,三、给出数列的方法,:,复习,一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一,某此系统抽样所抽取的样本号分别是,:,7,，,19,，,31,，,43,，,55,，,67,，,79,，,91,，,103,，,115.,（观察以下数列）,引入,某此系统抽样所抽取的样本号分别是:（观察以下数列）引,这三个数列有何共同特征,从第,2,项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。,请尝试着给具有上述特征的特殊数列,用数学的语言下定义,交流,这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同,1,、等差数列的定义,如果一个数列,从第,2,项起,，,每一项与其前一项的差,等于,同一个常数,，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的,公差,，公差通常用字母,d,表示。,（,1,）指出定义中的关键词：,从第,2,项起,等于同一个常数,由定义得等差数列的递推公式：,说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据,.,每一项与其前一项的差,探究,1、等差数列的定义（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同,练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项,a,1,和公差,d,如果不是，说明理由。,练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是,2,、等差数列的通项公式,根据等差数列的定义得到,方法一：不完全归纳法,2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归,2,、等差数列的通项公式,将所有等式相加得,方法二,累加法,2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二,例,1 ,求等差数列,8,，,5,，,2,，,的第,20,项,.,-401,是不是等差数列,-,5,，,-9,，,-13,，,的项？如果是，是第几项？,解：,由,a,1,=8,，,d,=5-8=-3,，,n,=20,，得,a,20,=8+(20-1)(-3)=-49.,例1 求等差数列8，5，2，的第20项.解：由a1=,例,2,在等差数列,a,n,中，已知,a,5,=10,a,12,=31,求首项,a,1,与公差,d,.,这是一个以,a,1,和,d,为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,a,1,+4d=10,a,1,+11d=31,a,1,=-2,d=3,这个数列的首项,a,1,是,-2,，公差,d=3.,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？,例2 在等差数列an中，已知这是一个以a1和d 为未知,1,、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；,2,、在等差数列的通项公式中，,a,1,，,d,，,n,，,a,n,四个量中知三求一,.,结论,1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数,3,等差中项,如果,a,A,b,成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,.,由等差中项的定义可知，,a,A,b,满足关系：,意义：,任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的,.,当,a=b,时，,A=a=b,.,3等差中项 如果 a,A,b 成等差数列，,例,3,（,1,）在等差数列,a,n,中，是否有,（,2,）在数列,a,n,中，如果对于任意的正整数,n,（,n2,），都有,那么数列,a,n,一定是等差数列吗？,例3（1）在等差数列an中，是否有,4,、等差数列通项公式的推广,解析：,由等差数列的通项公式得,4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得,思考：已知等差数列,a,n,中，,a,3,=9,a,9,=3,求,a,12,a,3n,.,解法一,:,依题意得：,a,1,+2d=9,a,1,+8d=3,解之得,a,1,=11,d=-1,这个数列的通项公式是：,a,n,=11-(n-1)=12-n,故,a,12,=0,a,3n,=12 3 n.,解法二：,思考：已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,1.,等差数列,a,n,中，,a,1,a,5,10,，,a,4,7,，,求数列,a,n,的公差,2.,在数列,a,n,中,a,1,=1,，,a,n,=,a,n+,1,+4,，则,a,10,=,.,3.,等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6,，,-3,a,-5,，,-10,a,-1,，,则,a,等于（,),A,.1,B,.-1,C,.-,D.,1.等差数列an中，a1a510，a47，2.在,课本,P40(A)1,、,3,、,(B)2,作业,课本P40(A)1、3、作业,2.2,等差数列,第二章 数列,第二课时,2.2 等差数列第二章 数列 第二课时,2,、等差数列的通项公式,1,、等差数列的定义,3,、等差数列的中项,复习,通项公式的证明及推广,100,与,180,2、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项,用一下,例,2.,某出租车的计价标准为,1.2,元,/km,起步价为,10,元，即最初的,4km(,不含,4,千米,),计费,10,元。如果某人乘坐该市的出租车去往,14km,处的目的地，且一路畅通，等候时间为,0,，需要支付多少车费？,用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10,等差数列(优秀课件),5,、等差数列的通项及图象特征,5、等差数列的通项及图象特征,解析,:,思考,结论,:,解析:思考结论:,首项是,1,，公差是,2,的无穷等差数列的通项公式为,a,n,2n-1,相应的图象是直线,y=2x-1,上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如,：,首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an 2n-1,性质,：设 若 则,性质：设 若,等差数列的性质,数列,a,n,是等差数列，,m,、,n,、,p,、,qN,+,，且,m+n=p+q,，则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,。,判断：,可推广到三项，四项等,注意：等式两边作和的项数必须一样多,等差数列的性质数列an是等差数列，m、n、p、qN+，,等差数列(优秀课件),（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,和,a,15,是方程,x,2,6x,1=0,的两个根，则,a,7,a,8,a,9,a,10,a,11,=,（,3,）已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,5,=,14,2a,2,a,6,=,15,，则,a,8,=,跟踪训练,（,1,）,已知等差数列,a,n,中，,（2）已知等差数列an中，a3 和a15是方程x26,等差数列(优秀课件),3.,更一般的情形，,a,n,=,，,d,=,小结：,1.,a,n,为等差数列,2.,a,、,b,、,c,成等差数列,a,n,+1,-,a,n,=d,a,n,+1,=a,n,+d,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,a,n,=,kn +b,（,k,、,b,为常数）,a,m,+,(,n,-,m,),d,b,为,a,、,c,的等差中项,AA,2,b=a+c,4.,在等差数列,a,n,中，由,m+n=p+q,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,注意：上面的命题的逆命题,是不一定成立,的；,5.,在等差数列,a,n,中,a,1,+,a,n,a,2,+,a,n-,1,a,3,+,a,n-,2,=,=,=,小结：1.,等差数列(优秀课件),跟踪训练,跟踪训练,300 83+5,（,n-1,）,500,巩固练习,1.,等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6,，,-3,a,-5,，,-10,a,-1,，,则,a,等于（,),A,.1,B,.-1,C,.-,D.,2.,在数列,a,n,中,a,1,=1,，,a,n,=,a,n+,1,+4,，则,a,10,=,.,(-3,a,-5)-(,a,-6,)=(-10,a,-1)-(-3,a,-5),提示：,提示：,d=a,n+,1,-,a,n,=,-,4,3,.,在等差数列,a,n,中,a,1,=83,，,a,4,=98,，则这个数列有,多少项在,300,到,500,之间？,-35,提示：,n,=45,，,46,，,，,84,40,300 83+5（n-1）500巩固练习1.等差数,例,4,例4,例,5,已知三个数成等差数列，它们的和是,12,，积是,48,，求这三个数,.,解：,设三个数为,a-d,，,a,，,a+d,，则,解之得,故所求三数依次为,2,，,4,，,6,或,6,，,4,，,2,例5 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这,例,6,如图，三个正方形的边,AB,，,BC,，,CD,的长组成等差数列，且,AD,21cm,，这三个正方形的面积之和是,179cm,2,.,（,1,）求,AB,，,BC,，,CD,的长；,（,2,）以,AB,，,BC,，,CD,的长为等差数列的前三项，以第,9,项为边长的正方形的面积是多少？,3,，,7,，,11,a,9,=35,S,9,=1225,例6 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数,5,、等差数列的性质,已知数列 为等差数列，那么有,性质,1,：若 成等差数列，则,成等差数列,.,证明：根据等差数列的定义，,即 成等差数列,.,如 成等差数列，成等差数列,.,推广：,在等差数列,有规律,地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是,7,的倍数的项）,5、等差数列的性质已知数列 为等差数列，那么有性,性质,2,：设 若 则,性质,3,：设,c,b,为常数，若数列 为等差数列，则数,列 及 为等差数列,.,性质,4,：设,p,q,为常数，若数列 、均为等差数列，,则数列 为等差数列,.,性质2：设 若,等差数列(优秀课件),等差数列(优秀课件),例,8,（,1,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,15,=30,求,a,9,，,a,7,a,11,解：,（,1,）,a,9,是,a,3,和,a,15,的等差中项,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=150,，求,a,2,a,8,的值,7+11=3+15,（,2,）,3+7=4+6=5+5,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=5 a,5,=150,即,a,5,=30,故,a,2,a,8,=2 a,5,=60,a,7,a,11,=a,3,a,15,=30,a,3,a,7,=a,4,a,6,=2 a,5,例8（1）已知等差数列an中，a3 a15=30,求,（,1,）,等差数列,a,n,中，,a,3,a,9,a,15,a,21,=8,，则,a,12,=,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,和,a,15,是方程,x,2,6x,1=0,的两个根，则,a,7,a,8,a,9,a,10,a,11,=,2,（,3,）已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,5,=,14,2a,2,a,6,=,15,，则,a,8,=,19,跟踪训练,（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，,例,8,解：,（,1,）,a,9,是,a,3,和,a,15,的等差中项,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=150,，求,a,2,a,8,的值,7+11=3+15,（,2,）,3+7=4+6=5+5,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=5 a,5,=150,即,a,5,=30,故,a,2,a,8,=2 a,5,=60,a,7,a,11,=a,3,a,15,=30,a,3,a,7,