3.1 直线的倾斜角与斜率,3.1.1 倾斜角与斜率,第三章 直线与方程,3.1 直线的倾斜角与斜率第三章 直线与方程,笛卡儿（,1596-1650,）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称,17,世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”,.,几何问题,代数化,笛卡儿（1596-1650）：法国数学家、物理学家和哲学家，,观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？,观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？,思考,1,已知直线,l,经过点,P,，直线,l,的位置能够确定吗？,y,x,O,l,不确定,.,过一个点有无数条直线,.,这些直线有何区别？,它们的倾斜程度不同,如何描述直线的倾斜程度？,P,思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确定吗？yx,x,y,o,规定：当直线,l,和,x,轴平行或重合时，它的倾斜角为,0.,l,x,轴正向,与,直线,l,向上,方向之间所成的角,.,直线倾斜角,的范围为：,一、直线的倾斜角,xyo规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.,注意：1、,对直线的倾斜角的理解,(1)倾斜角定义中含有三个条件:,x轴正,、,方向；,直线向上的方向；,小于180的非负角.,2.倾斜角的范围,直线的倾斜角的范围为,_,.,0180,注意：1、对直线的倾斜角的理解2.倾斜角的范围00,k0k0,如图，若,为锐角，,思考,5,已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？,结论：,当时，斜率,k0.,如图，若为锐角，思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计,若,为钝角，,结论：,当,若为钝角，结论：当,同样，当 的方向向上时，也有,成立,.,说明：,此公式与两点坐标的顺序无关,.,同样，当 的方向向上时，也有,思考,6,当直线,P,1,P,2,平行于,x,轴，或与,x,轴重合时，,还适用吗？为什么？,O,适用,思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，,O,思考,7,当直线平行于,y,轴，或与,y,轴重合时，公式还适用吗？,不适用，因为分母为,0,，斜率不存在,.,O思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗,三、斜率公式,公式特点：,(1),与两点坐标的顺序无关,.,(2),公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角,.,(3),当,x,1,=x,2,时,公式不适用,此时,=90.,经过两点 的直线的斜率公式,三、斜率公式公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关.(2)公式,判断：(正确的打“”，错误的打“”),(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.(),(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(),(3)一个倾斜角不能确定一条直线.(),(4)斜率公式与两点的顺序无关.(),判断：(正确的打“”，错误的打“”),提示：,(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度.,(2)错误.倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应.,(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角.,(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.,答案:,(1)(2)(3)(4),提示：(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度,倾斜角与斜率课件,答案：,B,答案：B,例,1,如图，已知,A(3,，,2),B(-4,，,1),C,（,0,，,-1,）,求直线,AB,，,BC,，,CA,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,.,O,x,y,A,C,B,解：,直线,AB,的斜率,直线,BC,的斜率,直线,CA,的斜率,分析：,直接利用公式求解,.,例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1,由 及 知，直线,AB,与,CA,的倾斜角均为锐角；,由 知，直线,BC,的倾斜角为钝角,斜率为正，倾斜角为锐角；,斜率为负，倾斜角为钝角；,斜率为,0,，倾斜角为,0,；,斜率不存在时，倾斜角为直角,.,由 及 知，直线AB与CA的倾斜角,例,2,在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为,1,，,-1,，,2,及,-3,的直线,l,1,，,l,2,，,l,3,及,l,4,.,x,y,解：,设,A,1,（,x,1,y,1,）是,l,1,上任意一点，根据斜率公式有,即,x,1,=y,1,.,设,x,1,=1,，则,y,1,=1,，,于是,A,1,的坐标是（,1,1,）,过原点及点,A,1,（,1,1,）的直线即为,l,1,分析：,找出直线上异于原点的点,.,O,例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1,同理,l,2,是过原点及点,A,2,（,1,，,-1,）的直线，,l,3,是过原点及点,A,3,（,1,，,2,）的直线，,l,4,是过原点及点,A,4,（,1,，,-3,）的直线,x,y,O,l,1,同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，xyOl1,1.,已知,A(3,，,5),，,B(4,，,7),，,C(-1,，,x),三点共线，,则,x,等于,(),A.-1 B.1 C.-3 D.3,解：,选,C.,因为 又,A,，,B,，,C,三点共线，所以,k,AB,=k,AC,，即 解得：,x=-3.,1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，,2,设直线,l,过原点，其倾斜角为,，将直线,l,绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线,l,1,，则直线,l,1,的倾斜角为(),A,45,B,135,C135,D当0,135时，为,45；,当135,180时，为,135,D,2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针,4.,已知,a,b,c,是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角,.,(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).,(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).,4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜,x,O,2,-1,1,5.,画出经过点（,0,2,），且斜率为,2,与,-2,的直线,.,y,解：,斜率为,2,的直线经过（,0,2,），（,-1,0,）两点；,斜率为,-2,的直线经过（,0,2,），（,1,0,）两点,.,xO2-115.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线,1.,直线倾斜角的定义及其范围：,2.,斜率,k,与倾斜角 之间的关系：,3.,斜率公式：,“,几何问题代数化”的思想,.,1.直线倾斜角的定义及其范围：2.斜率k与倾斜角 之间的关,