单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,等差数列的通项公式,当d0时，这是关于n的一个一次函数。,d=0,常数列；,d0,递增数列；,d0,递增数列；d0,递减数列,小结：,或,1、等差数列的概念：2、等差数列的通项公式：,4,如果一个数列的通项公式能写成,（p,q 是常数）的形式，那么这个数列是不是等差 数列呢？,课后思考：,如果一个数列是等差数列，那么该数,列的通项公式一定能写成,（p,q是常数）的形式。,如果一个数列的通项公式能写成课后思考：,5,推广后的通项公式,(,n-m,),d,例4,在等差数列,a,n,中,(1)若,a,59,=70，,a,80,=112，,求,a,101,；,(2),若,a,p,=,q,，,a,q,=,p,(,pq,)，,求,a,p+q,；,(3),若,a,12,=23，,a,42,=143，,a,n,=263，,求,n,.,d=,2,a,101,=154,d=,-1,a,p+q,=,0,d=,4,n,=72,推广后的通项公式(n-m)d例4 在等差数列an中d,6,等差中项,三个数成等差数列，可设这三个数为：,a,、b、c,成等差数列,则,_,_,b,与,a,的等差中项是,即,a,、,b,的算术平均数.,2,b,=,a+c,a,a+d,a+2d,或,a-d,a,a+d,例5,(1)已知,a,，,b,，,c,成等差数列，求证：,ab,-,c,2,，,ca,-,b,2,，,bc,-,a,2,也成等差数列；,(2),三数成等差数列，它们的和为,12,，首尾二数的积为,12,，求此三数.,等差中项 三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b、c成等,7,上面的命题中的等式两边有,相 同 数 目,的项，如,a,1,+,a,2,=,a,3,成立吗？,【,说明,】,3.更一般的情形，,a,n,=,d,=,等差数列的性质,1.,a,n,为等差数列,2.,a,、,b,、,c,成等差数列,a,n,+1,-,a,n,=d,a,n,+1,=a,n,+d,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,a,n,=,kn +b,（k,、,b,为常数）,a,m,+,(,n,-,m,),d,b为a、c 的等差中项,AA,2,b=a+c,4.在等差数列,a,n,中，由,m+n=p+q,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,注意：上面的命题的逆命题,是不一定成立,的；,上面的命题中,8,例2.,在等差数列,a,n,中,(1)已知,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20，求,a,1,+,a,20,例题分析,(2）已知,a,3,+,a,11,=10，求,a,6,+,a,7,+,a,8,(3)已知,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=56，,a,4,a,7,=187，求,a,14,及公差,d,.,分析：由,a,1,+,a,20=,a,6,+,a,15,=,a,9,+,a,12,及,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20，可得,a,1,+,a,20,=10,分析：,a,3,+,a,11,=,a,6,+,a,8,=2,a,7，,又已知,a,3,+,a,11,=10，,a,6,+,a,7,+,a,8,=（,a,3,+,a,11,）=15,分析：,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=56,a,4,+,a,7,=28 ,又,a,4,a,7,=187 ，解、得,a,4,=17,a,7,=11,a,4,=11,a,7,=17,或,d=,_,2或2,从而,a,14,=,_,3或31,例2.在等差数列an中例题分析(2）已知 a3+a11,9,课堂练习,1.等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6，2,a,-5，,-3,a+,2，则,a,等于（),A,.-1,B,.1,C,.-2,D.2,B,2.在数列,a,n,中,a,1,=1，,a,n,=,a,n+,1,+4，则,a,10,=,2(2,a,-5)=(-3,a+2,)+(,a,-6,),提示1:,提示：,d=a,n+,1,a,n,=4,-35,3.,在等差数列,a,n,中,(1)若,a,59,=70，,a,80,=112，求,a,101,；,(2)若,a,p,=,q,，,a,q,=,p,(,pq,)，求,a,p+q,d=,2,a,101,=154,d=,-1,a,p+q,=,0,课堂练习1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a-,10,研究性问题,300 500,4,.,在等差数列,a,n,中,a,1,=83，,a,4,=98，则这个数列有,多少项在300到500之间？,d=,5,提示：,a,n,=78+5,n,n,=45，46，84,40,2.已知,a,n,为等差数列，若,a,10,=20 ，,d,=-1，求,a,3,?,1.若,a,12,=23，,a,42,=143，,a,n,=263，求,n,.,3.,三数成等差数列，它们的和为,12,，首尾二数的,积为,12,，求此三数.,d=,4,n,=72,a,3,=,a,10,+(3-10)d,a,3,=27,设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a,2,-d,2,=12,6，4，2或2，4，6,研究性问题300 500,11,如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个,公式,来表示，这个,公式,就叫做这个数列的,通项公式,。,叫做数列 的,前n项和,。,如果数列 的第n项,12,等差数列的前n项和公式的推导,，,，,由等差数列,的前n项和,得,等差数列的前n项和公式的推导，由等差数列的前n项和得,13,等差数列的前n项和公式的其它形式,等差数列的前n项和公式的其它形式,14,a,1,a,n,n,公式记忆方法,!,1)前,n,个正整数的和：1+2+3+n=,；,2)求正整数列中,前n个偶数,的和,2+4+6+2,n,=,。,a1ann公式记忆方法!1)前n个正整数的和：1+2+3+,15,例2：数列a,n,是等差数列，a,1,=50，d=2,（1）从第n项开始有a,n,0，d,例3.在等差数列an中最大。值时为何nSnSSa,02,17,解：方法一,解：方法一,18,解：方法二（只适合填空题）,14,25,19.5,解：方法二（只适合填空题）142519.5,19,1.将等差数列前n项和公式,看作是一个关于n的函数，这个函数,有什么特点？,当,d,0时,S,n,是常数项为零的二次函数,则 S,n,=An,2,+Bn,令,1.将等差数列前n项和公式当d0时,Sn是常数项为零的二,20,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法1,由S,3,=S,11,得,d,=2,当n=7时,S,n,取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1,21,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法2,由S,3,=S,11,得,d,=20,当n=7时,S,n,取最大值49.,则S,n,的图象如图所示,又S,3,=S,11,所以图象的对称轴为,7,n,11,3,S,n,等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1,22,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法3,由S,3,=S,11,得,d,=2,当n=7时,S,n,取最大值49.,a,n,=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1,23,a,7,+,a,8,=0,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法4,由S,3,=S,11,得,当n=7时,S,n,取最大值49.,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,11,=0,而,a,4,+,a,11,=,a,5,+,a,10,=,a,6,+,a,9,=,a,7,+,a,8,又,d,=20,a,7,0,a,8,0,d,0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为S,n,的最大值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.当,a,1,0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.,求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由,25,2.等差数列,a,n,前n项和的性质,性质1:S,n,S,2n,S,n,S,3n,S,2n,也在等差数列,公差为,在等差数列,a,n,中,其前n项的和为S,n,则有,性质2:若S,m,=p,S,p,=m(mp),则S,m+p,=,性质3:若S,m,=S,p,(mp),则 S,p+m,=,性质4,:(1)若项数为偶数2n,则,S,2n,=n(,a,1,+,a,2n,)=n(,a,n,+,a,n+1,)(,a,n,a,n+1,为中间两项),此时有:S,偶,S,奇,=,n,2,d,0,nd,(m+p),2.等差数列an前n项和的性质性质1:Sn,S2nSn,26,性质4,:(1)若项数为奇数2n1,则,S,2n-1,=(2n 1),a,n,(a,n,为中间项),此时有:S,偶,S,奇,=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列,a,n,与,b,n,都是等差数列,且前n项的和分别为S,n,和T,n,则,性质5:为等差数列.,a,n,性质4:(1)若项数为奇数2n1,则两等差数列前n项和与通,27,例1.设等差数列,a,n,的前n项和为Sn,若S,3,=9,S,6,=36,则,a,7,+,a,8,+,a,9,=(),A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列,a,n,中,已知公差d=1/2,且,a,1,+,a,3,+,a,5,+,a,99,=60,a,2,+,a,4,+,a,6,+,a,100,=(),A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=,28,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为,.,110,例4.两等差数列an、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且,求 和 .,等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为1,29,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为,.,例6.(09宁夏)等差数列,a,n,的前n项的和为S,n,已知,a,m-1,+,a,m+1,-,a,m,2,=0,S,2m-1,=38,则m=,.,例7.设数列,a,n,的通项公式为,a,n,=2n-7,则|,a,1,|+|,a,2,|+|,a,3,|+|,a,15,|=,.,5,10,153,等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项,30,例8.设等差数列的前n项和为S,n,已知,a,3,=12,S,12,0,S,13,0,13,a,1,+136,d,0,31,(2),Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时S,n,有最大值.,S,n,有最大值.,