单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,赠 言,凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定，,则不困；行前定，则不疚；道前定，则不穷。,子思中庸,解 释,豫,预划；,跲,（,Jia）,窒碍,困,困扰；,疚,不安；,穷,贫穷,第五章 平面图形的几何性质,(,Geometrical properties of plane graph),1,拉压正应力,扭转切应力,弯曲正应力,应力的计算通常用要到构件,截面的几何参数,，例如：,2,拉压正应力扭转切应力弯曲正应力应力的计算通常用要到构件 截面,统一为,m,=0,零次矩(或面积),Moment of zero,order,m,=1,一次矩、线性矩(或静矩),Moment of first,order,m,=2,二次矩(或惯性矩、积),Moment of second,order,实质 1、数学，不是力学,2、颠倒了学科发展顺序,（历史是：,弯曲内力弯曲应力惯性矩）,目的 1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩),2、从更高的观点，统一截面几何性质,3、便于学习（弊病：只有,大厦,，无,脚手架,）,3,统一为m=0 零次矩(或面积)Mom,零次矩：,一次矩（静矩）：,C(z,c,y,c,),y,o,z,dA,面积,A,5.1 静矩（,Statical moment),、,形 心(,Centroid),4,零次矩：一次矩（静矩）：C(zc,yc)yozdA面积A5,形心,C,的坐标,：,1、为什么用,z-y,坐标而不是,x-y,坐标？,2、为什么,对应于,而不是,思考,形心,：,使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点,o,z,y,dA,C,5,形心 C 的坐标：1、为什么用z-y坐标而不是x-y坐标？2,对称图形形心的位置,有一个对称轴：,形心,C,位于该轴上,y,C,z,6,对称图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该轴上yCz6,有两个对称轴：,两个对称轴的交点就,是形心,C,的位置,z,y,C,7,有两个对称轴：zyC7,C,z,y,对某点对称（中心对称）：,形心,C,位于对称中心,8,Czy对某点对称（中心对称）：形心C位于对称中心8,由,n,个规则形状组成的图形,y,C,z,z,y,组合（复合）图形的形心,9,由 n 个规则形状组成的图形yCzzy组合（复合）图形的形心,已知,b,c,t,，求C的坐标,c,C,z,y,C,2,C,1,b,t,t,0,C,1,、C,2,、C,的坐标:,组合图形的形心算例,10,已知b,c,t，求C的坐标cCzyC2C1btt0C1,注1：,由两块组成组合图形，其复合图形形心一定,位于两个子图的形心连线上,注2：,组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，,但要记住面积为负号,“负面积”,z,y,C1,C2,C,11,注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定“负面积”zyC,惯性矩,惯性积,o,z,y,dA,面积,A,z,y,5.2 惯性矩,（,Moment of inertia),与惯性积,(,Product of inertia),（,二次矩，,Moment of second order）,12,惯性矩惯性积ozydA面积Azy5.2 惯性矩（Mom,质点,Newton,定律,对于平面图形，当密度取单位值时，,dm=dA，,此时,转动惯量,就等于,极惯性矩,你们是否遇到过二次矩？,推广到刚体，,何种形式？,I,是什么？,转动惯量（,Rotational inertia）：,13,质点Newton定律 对于平面图形，当,力学问题中，有不同层次的,外因、内因,结果,关系,1、,外力、受力物性能 运动响应,2、,内力、截面量 变形响应（应力等）,温故知新，我们进行类比,动力学 材料力学,14,力学问题中，有不同层次的 外因、内因结果,惯性矩、惯性积的性质,（1）惯性矩为正，即,（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零,（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之,和等于,不变的极惯性矩,I,p,值,（4）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和,C,z,C,C,z,z,y,y,y,C,C,15,惯性矩、惯性积的性质（1）惯性矩为正，即（2）若图形有一对称,座标转动不改变极惯性矩,Z,1,Y,1,Z,2,Y,2,O,A,16,座标转动不改变极惯性矩Z1Y1Z2Y2OA16,例题5.4,P133,圆截面的惯性矩,设圆截面直径,D，,则圆方程为,z,y,其他方法1、书中微元 2、极惯性矩的一半,17,例题5.4 P133 圆截面的惯性矩设圆截面直径D，,问题的提出,工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简,单截面（如矩形）的组合，,总惯性矩=分惯性矩之和,，,而分惯性矩在,各自的 形心坐标系,中计算,将,分惯性矩,转换到,总形心坐标系,时，要考虑坐标,系转换的影响,分坐标系,与,总形心坐标系,通常是,平行关系,，,于是,就抽象出,惯性矩计算,的,平行移轴,问题,5.3 平行移轴公式（平行轴定理,Parallel axis,theorem,）,18,已知：,计算：,o,C(z,c,y,c,),z,y,a,b,dA,面积,A,z,1,y,1,为形心坐标系,19,已知：计算：oC(zc,yc)zyabdA面积Az1 y,复习：形心的定义,同理,20,复习：形心的定义同理20,例 题,矩形1,矩形2,已知组合截面尺寸：,计算截面对轴,z,的惯性矩,b,t,h,t,z,2,z,1,z,C,1,C,2,C,y,s,以（,z,2,y,2,)为基准坐标，则,21,例 题矩形1矩形2已知组合截面尺寸：计算截面对,确定移轴量（,a,b),矩形1到,z,轴的距离:,矩形2到,z,轴的距离:,由平行移轴定理,矩形1对,z,轴的惯性矩:,矩形2对,z,轴的惯性矩:,整个截面的惯性矩：,b,t,h,t,z,2,z,1,z,C,C,2,y,s,C,1,22,确定移轴量（a,b)矩形1到 z 轴的距离:矩形2到 z,z,1,y,1,O,A,z,y,H,B,C,D,E,F,G,如同平行移轴问题，转轴问题也很重要,且对弯曲受力合理很关键,书上的推导,5.4 转轴公式（,Formula of rotation of axes)、,主惯性轴,(,Principal axes),和主惯性矩,(,Principal moment of inertia),坐标转换的矩阵形式,23,z1y1OAzyHBCDEFG如同平行移轴问题，转轴问题也很,z,1,y,1,O,A,z,y,H,B,C,D,E,F,G,操作式的推导,用投影代替转动,y,变,y,1,的操作,1、,y,（AF）,向,y,1,轴投影得,y,1,+,GF,2、再减去,GF,得,y,1,24,z1y1OAzyHBCDEFG操作式的推导用投影代替转动,z,1,y,1,O,A,z,y,H,B,C,D,E,F,G,z,变,z,1,的操作,1、,z,（OF）,向,z,1,轴投影得,z,1,-,GD,2、再加上,GD,得,z,1,思考,能否用复数推导？,C,1,，C,为复数（,Complex number），,i,为虚单位,25,z1y1OAzyHBCDEFG z 变 z1 的操作,已知：截面对,y、z 轴的惯性矩、惯性积,求解：截面对,y,1,、z,1,轴的惯性矩、惯性积,26,已知：截面对 y、z 轴的惯性矩、惯性积求解：截面对y1、z,显然,27,显然27,创造的机遇,提出问题,：,因为,角度,对应,坐标系,，,在哪个坐标系中，惯性矩为极大（或极小）？,意义,对于给定的截面，选择坐标系使,惯性矩,最大,（抵抗弯曲的能力最强），避免,惯性矩最小,说明取,极大（或极小）惯性矩,时,惯性积,等于零,28,创造的机遇提出问题：因为角度对应坐标系，,由方程,确定两个相互垂直的轴 主惯性轴,z,1,y,1,O,z,y,也就是说：1、,对于给定的截面,坐标轴选择得恰当，,惯性矩极大；,2、同时，惯性矩极小的,坐标轴,，,恰好与前者（惯性矩极大的,坐标轴）,垂直；3、两个,坐标轴,组成了,主惯性坐标系,求解出,29,由方程确定两个相互垂直的轴 主惯性轴z1y1O,主惯性矩：,主惯性轴上的惯性矩,将 代入,得到一大一小两个主惯性矩：,主形心惯性系：,坐标原点取在截面形心上的主惯性系,主形心惯性矩：,主形心惯性轴上的惯性矩,30,主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩将,截面几何性质小结,1.静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系,中的数值有一定的关系,2.,I,z,、I,y,恒为正，,S,z,、S,y,、I,yz,可正可负，与坐标轴位,置有关,3.对形心轴静矩为,0,，对称轴,I,yz,=,0,，,对称轴就是形心,主惯性轴,4.平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小,5.主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一；,主形心惯性矩一个为最大，一个为最小,31,截面几何性质小结1.静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是,