,第三节 向量组的极大线性无关组,一 向量组的等价,二向量组的极大线性无关组,三向量组的秩与矩阵的秩,四应用举例,一、向量组的等价,定义,设两向量组,假设向量组中每一个向量皆可由向量组B线性表示，,那么称向量组可以由向量组B线性表示.,假设两个向量组可以互相线性表示，那么称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有,自反性,、,对称性,、,传递性,.,即存在矩阵,即,对任意的,自反性,:,A,等价于,A,对称性:假设A等价于B，那么B等价于A,传递性:假设A等价于B，B等价于C，那么A等价于C,如何证明两个向量组等价？,证明：,向量组,A,与,B,等价,假设A可由B线性表示，且rs，那么向量组A线性相关(Page82),由定义：,证明两向量组能相互表示,定理：,设,R,n,中的两个向量组,例如：,若 为,R,2,中的基本向量组，即,向量组,A,B,推论,1,：,若向量组,A,可由向量组,B,线性,表示，且,A,线性无关，,则必有,r s,推论,2,：,若向量组,A,与,B,均线性无关且,等价，则它们所含,向量的个数相同,二、向量组的极大线性无关组,若向量组,A,中的一个部分组,满足,(1),线性无关,(2),向量组,A,中的每个向量均可由,线性表示,则称,为,A,的一个,极大线性无关组,注：,向量组,A,的极大线性无关组与它自身等价,极大线性无关组,与,A,中的另外的,向量,所组成的新的向量组必线性相关,向量组的极大线性无关组通常不唯一,定理：,一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数,是唯一的,例：,求向量组,A,的一个极大线性无关组,提示：,线性无关,均线性无关,又因,均,A,的极大线性无关组,故,例：,R,n,中的基本向量组,是,R,n,的一个,极大线性无关组,三、向量组的秩与矩阵的秩,1,、定义：,一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数，,称为,向量组的秩,定理：,等价的向量组秩相等,注：,秩相等的向量组不一定等价,任意n+1个n维向量一定线性相关 Rn的秩为n,2,、向量组的秩与矩阵秩的关系,矩阵与向量组之间有一一对应的关系，,那么秩之间又有什么关系？,定理,有相同的,线性相关性,与,线性组合系数,.,相同的,线性相关性,是指：,已知,n,维列向量组,若对,施行,行,初等变换把,化为,则,向量组,线性表示，且表达式的系数对应相同,.,线性表示，对应的,极大无关组相对应,.,线性相关,线性相关,作用：,为判断向量组线性相关或无关以及求极大线性无关组提供了一种简单的 方法,证明,设,的某些列,有关系,那么相应的,具有相同的,线性相关性,.,即,B,中列向量组,与,中列向量组,求向量组,的列向量组的秩及一个极大线性无关组，,例,设矩阵,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示,.,所以,的列向量组的秩为,.,故极大线性无关组所含向量的个数为个,.,解,显然极大线性无关组为,所以可得,定义,矩阵,的列向量组的秩称为列秩，记为：,的行向量组的秩称为,行,秩，记为：,定理,当r=m时，那么A的行向量组线性无关；当rm时，那么A的行向量组线性相关.,结论,，且,当r=n时，那么A的列向量组线性无关；当rn时，那么A的列向量组线性相关.,假设m=n时，那么A的列行向量组线性无关的充要条件是|A|0.,1,、向量组线性无关，证明：,线性无关,.,四、应用举例,2,、设,所以,线性无关,试讨论 及 秩及线性相关性,.,线性相关,解,且,3,、已知,设,证明,线性无关,.,4,、设,当,t,为何值时，线性无关,当,t,为何值时，线性相关,当线性相关时，将用线性表示,.,