,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章,平行线的证明,7.4,平行线的性质,第七章 平行线的证明7.4 平行线的性质,1,、什么叫做平行线？,2,、平行线的判定方法有哪些？,复,习,回,顾,1、什么叫做平行线？复习回顾,1,知识点,平行线的性质,1.,定理：,两直线平行，同位角相等,.,（,1,）已知：如图,1,，直线,AB,/,CD,，,1和,2,是直线,AB,，,CD,被直线,EF,截出的同位角,.,求证：,1=,2.,如果,12,，,AB,与,CD,的位置关,系会怎样呢？,图,1,1知识点平行线的性质1.定理：两直线平行，同位角相等.,证明：,假设,1,2，那么我们可以,过点,M,作直线,GH,，使,EMH,=,2，如图,2,所示,.,根据“同位角相等，两直线平行”，,可知,GH,/,CD,.,又因为,AB,/,CD,，这样经过点,M,存在两条直线,AB,和,GH,都与直线,CD,平行,.,这与基本事实“过直线外一点有,且只有一条直线与这条直线平行”,相矛盾,.,这说明,1,2的假设不成立，所以,1=,2.,图,2,证明：假设12，那么我们可以图2,（,2,）,性质,1,：,两条平行直线被第三条直线所截，同,位角相等,简称：,两直线平行，同位角相等,表达方式：,如图，因为,a,b,，,(,已知,),所以,1,2,.(,两直线平行，同,位角相等,),（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同,例,1,如图，若,AB,CD,，且,1,2,，试判断,AM,与,CN,的位置关,系，并说明理由,导引：,AM,与,CN,的位置关系很显然是平行的，要说明,AM,CN,，可考,虑说明,EAM,ECN,.,因为,1,2,，所以只需说明,EAB,ACD,即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根,据,AB,CD,即可得出,EAB,ACD,.,解：,AM,CN,.,理由：,AB,CD,(,已知,),，,EAB,ACD,(,两直线平行，同位角相等,),又,1,2(,已知,),，,MAE,NCA,(,等式性质,),AM,CN,(,同位角相等，两直线平行,),例1 如图，若ABCD，且12，试判断AM与C,总,结,当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是,否出现了相等的角,平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由,平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角,得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的,位置关系的相互转化在解题中会经常涉及,总 结 当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是,1 (,中考,泸州,),如图，,AB,CD,，,BC,平分,ABD,.,若,C,40,，则,D,的度数为,(,),A,90,B,100,C,110,D,120,B,1 (中考泸州)如图，ABCD，BC平分ABD.,(,中考,枣庄,),如图，把一块含有,45,角的直角三角,板的两个顶点放在直尺的对边上如果,1,20,，,那么,2,的度数是,(,),A,15,B,20,C,25,D,30,C,(中考枣庄)如图，把一块含有45角的直角三角C,2.,定理：,两直线平行，内错角相等,.,（,1,）已知：如图，直线,l,1,/,l,2,，,1,和,2,是直,线,l,1,，,l,2,被直线,l,截出的内错角,.,求证：,1=,2.,证明：,l,1,/,l,2,（已知），,1=,3,（两直线平行，同位角相等）,.,又,2=,3,（对顶角相等），,l=,2(,等量代换）,.,2.定理：两直线平行，内错角相等.,（,2,）,性质,2,：,两条平行直线被第三条直线所截，内错角,相等,简称：两直线平行，内错角相等,表达方式：,如图，因为,a,b,(,已知,),，,所以,1,2,(,两直线平行，内错角相等,).,要点精析：,两直线平行是,前提,，只有在这个前提下,才有内错角相等,（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角,例,2,如图，已知,AE,BC,，,B,C,，,AE,是,DAC,的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，,请说明理由,.,导引：,紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，,进而证明角相等,解：,AE,是,DAC,的平分线,证明如下：,AE,BC,(,已知,),，,DAE,B,(,两直线平行，同位角相等,),，,CAE,C,(,两直线平行，内错角相等,),，,又,B,C,(,已知,),，,DAE,CAE,(,等量代换,),，,AE,是,DAC,的平分线（角平分线的定义）,例2 如图，已知AEBC，BC，AE是DA,总,结,求证两角相等，首先观察两角的位置（是否,为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定,理,.,若无法直接证得两角相等，则分析由已知条,件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的,关系，关系找到后，问题即可解答,.,总 结 求证两角相等，首先观察两角的位置（是否,(,中考,东莞,),如图，直线,a,b,，,1,75,，,2,35,，则,3,的度数是,(,),A,75,B,55,C,40,D,35,C,(中考东莞)如图，直线ab，175，2C,(,中考,宜昌,),如图，,AB,CD,，,FE,DB,，垂足为,E,，,1,50,，则,2,的度数是,(,),A,60,B,50,C,40,D,30,C,(中考宜昌)如图，ABCD，FEDB，垂足为C,3,.,定理：,两直线平行，同旁内角互补,.,性质,3,：,两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角,互补,简称：两直线平行，同旁内角互补,表达方式：,如图，因为,a,b,(,已知,),，,所以,1+,2=180,(,两直线平行，同旁内角,互补,),.,3.定理：两直线平行，同旁内角互补.,例,3,如图，如果,AB,DF,，,DE,BC,，且,1,65,，那么你能说出,2,，,3,，,4,的度数吗？为什么？,导引：,由,DE,BC,，可得,1,4,，,1,2,180,；由,DF,AB,，可得,3,2,，从,而得出,2,，,3,，,4,的度数,解：,DE,BC,(,已知,),，,4,1,65(,两直线平行，内错角相等,),，,2,1,180(,两直线平行，同旁内角互补,),即,2,180,1,180,65,115.,又,DF,AB,(,已知,),，,3,2(,两直线平行，同位角相等,),3,115(,等量代换,),例3 如图，如果ABDF，DEBC，且165，,总,结,1,求角的度数的基本思路：,根据平行线的判定由角的,数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质,由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相,互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系,2,两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两,条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，,由角的关系求相应角的度数,总 结1求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的,4.,定理：,平行于同一条直线的两条直线平行,.,（,1,）已知：如图，,b,/,a,，,c,/,a,，,1,，,2,，,3,是直线,a,，,b,，,c,被直线,d,截出的同位角,.,求证：,b,/,c,.,证明：,b,/,a,(,已知），,2=1(,两直线平行，同位角,相等）,.,c,/,a,（已知）,3=1,（两直线平行，同位角相等）,.,2=3,（等量代换）,.,b,/,c,（同位角相等，两直线平行）,.,4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行.,一般地，我们有如下的定理：,定理,平行于同一条直线的两条直线平行,.,归,纳,一般地，我们有如下的定理：归 纳,1,(,中考,恩施州,),如图，已知,AB,DE,，,ABC,70,，,CDE,140,，则,BCD,为,(,),A,20 B,30,C,40 D,70,2,(,中考,河北,),如图，,AB,EF,，,CD,EF,，,BAC,50,，,则,ACD,(,),A,120 B,130,C,140 D,150,B,C,1(中考恩施州)如图，已知ABDE，ABC70，,2,知识点,平行线的性质与判定的关系,平行线的判定与平行线的性质的区别：,平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线,的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位,置关系得到两角的数量关系；,平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平,行线的判定的结论是平行线的性质的条件,2知识点平行线的性质与判定的关系平行线的判定与平行线的性质的,例,4,如图，已知,ABC,与,ECB,互补，,1,2,，则,P,与,Q,一定相等吗？说说你的理由,导引：,如果,P,和,Q,相等，那么,PB,CQ,，所以要判断,P,与,Q,是否相等，只需判断,PB,和,CQ,是否平行要说明,PB,CQ,，可以通过说明,PBC,BCQ,来实现，由于,1,2,，只需说明,ABC,BCD,即可,解：,P,Q,.,理由：,ABC,与,ECB,互补,(,已知,),，,AB,ED,(,同旁内角互补，两直线平行,),例4 如图，已知ABC与ECB互补，12，,ABC,BCD,(,两直线平行，内错角相等,),1,2(,已知,),，,ABC,1,BCD,2(,等式的性质,),，,即,PBC,BCQ,.,PB,CQ,(,内错角相等，两直线平行,),P,Q,(,两直线平行，内错角相等,),ABCBCD(两直线平行，内错角,总,结,一个数学问题的构成含有四个要素：题目的,条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，,如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结,论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就,是封闭性的数学问题,总 结 一个数学问题的构成含有四个要素：题目,1,(,中考,河南,),如图，直线,a,，,b,被直线,c,，,d,所截，若,1,2,，,3,125,，则,4,的度数为,(,),A,55 B,60,C,70 D,75,2,如图，已知,AB,CD,，,1,30,，,2,90,，则,3,等,于,(,),A,60 B,50,C,45 D,30,A,A,1 (中考河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若1,从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什,么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形,的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：,条件,定义、判定,定义、性质,图形,结论,从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什定义、判定定,完成教材,P177,习题,完成教材P177 习题,