,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等代数下半册复习,高等代数下半册复习,2,一、二次型及其矩阵表示,二、化二次型为标准型,三、正定二次型的判定,第五章 二次型,2一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准型三、正定二次型的,二次型,对称矩阵,标准形,对角矩阵,合,同,变,换,线,性,替,换,非,退,化,复,二,次,型,的,规,范,形,实,二,次,型,的,规,范,形,正惯性指数,变元个数,n,单位矩阵,正定二次型,正定矩阵,顺序主子式,全大于零,合,同,定理,1,定理,2,定,理,7,定理,3,定理,4,定理,6,负定、,半正定,、半负定、不定二次型,定理,8,C,AC=B,X=CY,3,二次型对称矩阵标准形对角矩阵合线非复实正惯性指数单位矩阵正定,把,n,阶实对称矩阵按合同分类，可以分成,(,n,+1)(,n,+2)/2,类,.,把,n,阶复对称矩阵按合同分类，可以分成,n,+1,类,.,定理,4,实数域上每一,n,元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形：,定理,3,复数域上每一,n,元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形：,把n阶实对称矩阵按合同分类，可以分成(n+1)(n+2)/2,1,、,求二次型的标准形；实、复二次型的规范形,.,方法：,1,）配方法,;2,）合同变换法；,3,）初等变换法；,4,）正交替换法,.,基本题型,5,1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形.方法：基本题型5,2,、,实二次型的正定性的判断；,实二次型其它类型的判断,.,方法：,1,）用正定二次型的定义；,2,）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准,形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性,;,3,）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定,.,4,）计算矩阵的特征值，若全大于,0,，则正定,.,2、实二次型的正定性的判断；实二次型其它类型的判断.方法：,第六章 线性空间,一、概念,第六章 线性空间一、概念,第六章 线性空间,如何判断非空集合,V,为数域,P,上的线性空间？,V,上定义的加法与数量乘法运算封闭；,满足如下八条运算规则：,加法四条：,数乘两条：,混合两条：,第六章 线性空间 如何判断非空集合V为,第六章 线性空间,什么叫线性空间,V,的维数、基与坐标？,n,维：有,n,个线性无关向量，没有更多无关向量,基：这,n,个线性无关的向量,坐标：任何向量在基下的线表系数,第六章 线性空间 什么叫线性空间V的维数、基与坐标,第六章 线性空间,基变换,A,为由基,I,到基,II,的过渡矩阵，可逆；,A,中各列表示基,II,中各向量在基,I,中的坐标,基,II,基,I,坐标变换,X=AY,，其中,Y,为向量在基,II,下坐标，而,X,为该向量在基,I,坐标,第六章 线性空间 基变换A为由基I到基II的过渡矩阵,第六章 线性空间,如何判断线性空间,V,的,非空子集,为子空间？,对加法和数量乘法运算封闭,第六章 线性空间 如何判断线性空间V的非空子集为子空间？对,第六章 线性空间,：,由 生成的子空间,生成子空间的基与维数,齐次线性方程组的解空间的基与维数,第六章 线性空间,第六章 线性空间,子空间的交与和,都为子空间,如何求两个子空间的交与和？（见例题习题）,如何求交与和子空间的基与维数？（见例题习题）,第六章 线性空间 子空间的交与和都为子空间如何求两个,第六章 线性空间,维数公式：,第六章 线性空间 维数公式：,第六章 线性空间,判别方法：分解惟一,零向量分解惟一,交为零子空间（即交只有零向量）,dim(W)=dim(V1)+dim(V2),子空间的直和：,注：子空间的补空间一般不唯一，但正交补是唯一的,.,第六章 线性空间 判别方法：分解惟一子空间的直和：注：,第六章 线性空间,线性空间,V,到线性空间,V,的同构映射：,同构,同维,任意,dim(V)=n,的线空,V,选定一组基 后：,第六章 线性空间 线性空间V到线性空间V的同构映射：,高等代数下半册复习概要ppt课件,补空间一般不唯一,补空间一般不唯一,7.,证明 的方法：,1),证明是子空间，,2),证明是和，,3),证明直和,7.证明 的方法：1)证,第七章 线性变换,5.,值域与核,第七章 线性变换5.值域与核,第七章 线性变换,如何判断一个线空,V,上的变换为线性变换？,映射,A,：,A =A +A,A A,第七章 线性变换 如何判断一个线空V上的变换为线性变换？,第七章 线性变换,线性变换的运算,两线变乘积：,(,AB,),A,(,B,也为线变；,两线变加法：,(,A+B,),A +B,亦线变；,数域,P,中的数与线变的数量乘法：,k,A=KA,k,A,也为线变,L(V)=,数域,P,上线空,V,上的所有线变,=,构成,P,上一个线空,在线空,V,中选定一组基后，每个线变都与一个矩阵对应,L(V),与 同构，故维数是,可逆的线变：若,AB,=,BA,=,恒等变换，则,B,为,A,的逆变换,第七章 线性变换 线性变换的运算两线变乘积：(AB),第七章 线性变换,线性变换的矩阵：,A,在线空,V,中选定一组基后，每个线变,A,都与一个矩阵,A,对应,矩阵,A,或是可逆的，或是不可逆的,欧式空间中，,正交变换,在一组标准正交基下的矩阵是,正交矩阵,，,对称变换,在一组标准正交基下的矩阵是,实对称矩阵,.,第七章 线性变换 线性变换的矩阵：A在线空V中选定一组,第七章 线性变换,利用线性变换的矩阵求向量的像,设,A,，且,则,A,第七章 线性变换 利用线性变换的矩阵求向量的像,第七章 线性变换,同一线性变换在不同基下矩阵的关系：,设,A,，,A,，,且,则有,A,相似于,B,，记为,AB,第七章 线性变换 同一线性变换在不同基下矩阵的关系：,相似矩阵的,性质：,(,1,),若,A,B,，,则,f,(,A,),f(B,)，,其中,f,(,x,),=a,m,x,m,+a,m-,1,x,m-,1,+,+a,1,x+a,0,是个多项式,（,2,）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不然,相似矩阵的性质：（2）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不,第七章 线性变换,线性变换的特征值与特征向量：,A,任选一组基：,A,矩阵,A,的特征多项式：,如何确定线性变换的特征值和特征向量？,矩阵,A,的特征值与特征向量：,第七章 线性变换线性变换的特征值与特征向量：任选一组基：A,第七章 线性变换,特征子空间：,维数就是属于特征值 的线性无关的特征向量的最大个数,A,的所有特征值的和,=A,的迹,A,的所有特征值的积,=A,的行列式,A,不可逆,0,是,A,的特征值,第七章 线性变换 特征子空间：维数就是属于特征值,(1),k,是,k,A,的,特征值（,k,为任意常数），而且,x,仍然是矩阵,k,A,属于特征值,k,的特征向量,；,(2),m,是,A,m,的,特征值，而且,x,仍然是矩阵,A,m,属于特征值,m,的特征向量,;,(3),若,A,可逆，则,1,为,A,1,的一个特征值，而且,x,仍然是矩阵,A,1,的属于特征值,1,的特征向量。,若,是,A,的,特征值,x,是,A,的属于,的特征向量。则,(1)k 是kA的特征值（k为任意常数），而,判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？,判别准则是线性变换是否有,n,个线性无关的特征向量,属于不同特征值的特征向量是线性无关的,如何具体求出一组基，使线变在其下的矩阵是对角的？,任选一组基：,A,求出,A,的特征值与相应的特征向量（应该共有,n,个）,把这,n,个特征向量按列写成矩阵,T,则基 即为所求,线性变换在这个新基下的矩阵为对角的，对角线上是特征值,第七章 线性变换,判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？判别准,第七章 线性变换,线性变换的值域,A,V,：线性变换作用在线空,V,上的全体像集合,线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合,值域与核都是子空间,值域的维数称为线变的秩,核的维数称为线变的零度,值域的维数,=,线变的秩,=,线变在基下矩阵的秩,值域一组基的原像与核的一组基合起来就是,V,的一组基,线变的秩,+,线变的零度,=,线空的维数,有限维线空的线性变换，单射,满射,设 为,V,的一组基，则值域,=L(,A,A,),第七章 线性变换 线性变换的值域AV：线性变换作用在线空,第七章 线性变换,线性变换的不变子空间：,W,是线空,V,的子空间，如果,W,中的向量在线变下仍在,W,中,如何判断或证明不变子空间,第七章 线性变换 线性变换的不变子空间：W是线空V的子空间,高等代数下半册复习概要ppt课件,第九章 欧几里得空间,第九章 欧几里得空间,高等代数下半册复习概要ppt课件,第九章 欧几里得空间,如何判定,欧几里得空间？,实数域,R,上的线空,V,，若定义了内积，满足,第九章 欧几里得空间 如何判定欧几里得空间？实数域R上,第九章 欧几里得空间,向量的长度：,向量的夹角：,三角不等式：,向量的正交或垂直：,第九章 欧几里得空间 向量的长度：向量的夹角：三角不等,第九章 欧几里得空间,基的度量矩阵：,设,则,其中,A,为基的度量矩阵，,不同基的度量矩阵是合同的,设基 的度量矩阵为,A,，,基 的度量矩阵为,B,，且有,则有,度量矩阵是实对称正定的,第九章 欧几里得空间 基的度量矩阵：设其中A为基的度量,第九章 欧几里得空间,正交向量组：一组非零向量，两两正交,正交向量组是线性无关的,标准正交基：单位的、两两正交的基,标准正交基下，,第九章 欧几里得空间 正交向量组：一组非零向量，两两正,第九章 欧几里得空间,会用,Schimidt,正交化算法,(,标正基,II)=(,标正基,I)*,正交矩阵,由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵,由标正基,I,及正交矩阵的过渡矩阵可得基,II,为标正基,正交矩阵的行列式等于,1,（第一类的）或,-1,（第二类的）,正交矩阵：,第九章 欧几里得空间 会用Schimidt正交化算法(标,第九章 欧几里得空间,判断欧空,V,到欧空,V,的同构？,在标正基下，每个,n,维欧空都与 同构,两个有限维欧空，同构,同维,第九章 欧几里得空间 判断欧空V到欧空V的同构？,第九章 欧几里得空间,正交变换：（线性）变换基础上保持内积不变,(,A ,A,)=,对于线性变换，以下四命题等价：,正交变换,保持长度不变,标正基的像仍是标正基,在任一组标正基下的矩阵是正交矩阵,正交变换是一个欧空到其自身的同构映射,第九章 欧几里得空间 正交变换：（线性）变换基础上保持内积,第九章 欧几里得空间,两个子空间的正交,向量与子空间的正交,子空间两两正交，则其和为直和,子空间,V1,的正交补,V2,：,V1+V2=V,V1,V2,子空间,V1,的正交补是唯一的,第九章 欧几里得空间 两个子空间的正交向量与子空间的正交,第九章 欧几里得空间,实对称矩阵的特征多项式的复根都为实数,对称变换：,(,A ,)=(,A,),对称变换的不变子空间的正交补也是该对称变换的不变子空间,实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必,正交,第九章 欧几里得空间 实对称矩阵的特征多项式的复根都为实数,第九章 欧几里得空间,用正交线性替换化实二次型为标准型,求出,A,的特征值与相应的特征向量,把这,n,个正交的、单位向量按列写成矩阵,T,则,X=TY,即为所求,满足,TAT=,对角矩阵（对角线上元素为特征值）,即,YTATY=Y,对角矩阵,Y=,标准型,写出实二次型的矩阵（实对称矩阵）,A,把每个特征值的特征向量进行正交化、单位化,第九章 欧几里得空间 用正交线性替换化实二次型为标准型求,1、在欧式空间中证明 的两种方法：,4、证明正交补的方法,1、在欧式空间中证明 的两种方法：4、证,