单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,11/15/2024,球的表面积与体积,学习目标:,1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的根本数学思想方法：“分割求和化为准确和”；,2、能运用球的面积和体积公式灵敏解决实际问题；,3、能解决球的截面有关计算问题及球的 “内接”与“外切”的几何体问题。,R,R,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。,一、球的体积:,R,R,R,设想一个球由许多顶点,在球心,底面在球面,上的“准锥体”,组成,这些准锥体,的底面并不是真,的多边形,但只要,其底面足够小,就,可以把它们看成,真正的锥体.,二、球的外表积:,R,S,球表,=4,R,2,例1:钢球直径是5cm,求它的体积.,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm,2,),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm,2,),例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的外表积。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,例题讲解,变式训练1:各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的外表积为()A.16 B.20C.24 D.32(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱),解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直,径为该四棱柱的体对角线.,RS=4R2=24,答案:C,训练:(2023四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面,该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为 底面周长为3,那么这个球的体积为_.,解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为 所以球的直径为2,故球的体积为,如以以以下图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,假设冰激凌溶化了,会溢出杯子吗?,课堂练习二,解:由图可知,半球的半径为4 cm,圆锥的高为12 cm.V半球V圆锥 4212=64 cm3,冰激凌化了,不会溢出杯子.,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,侧棱长为5cm,两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,球内切于正方体,(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?,半径为4cm的木盒能装下的最大正方体 与球盒有什么位置关系?,球外接于正方体,两个几何体相接:一个几何体的全部顶点都在,另一个几何体的外表上。,例4:有三个球,第一个球内切于正方体,其次个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的外表积之比.,分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.,解:设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过,四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1所以,(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如以以以下图.所以S2=4r22=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如以以以下图所示,所以有所以S3=4r23=3a2.综上可得S1:S2:S3=1:2:3.,思考:体积之比又是多少呢?,8,2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习1:,探究：假设正方体的棱长为a，则：,(1)正方体的内切球的直径=,(2)正方体的外接球的直径=,(3)与正方体全部的棱相切的球的直径=,4.假设两球体积之比是1:2，则其外表积之比是_.,练习2:,1.假设球的外表积变为原来的2倍,则半径变为原来,的_倍.,2.假设球半径变为原来的2倍，则外表积变为原来,的_倍.,3.假设两球外表积之比为1:2，则其体积之比是_.,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，,那么这个大铅球的外表积是_.,6.假设两球外表积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为_.,练习2:,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，,则它的外接球的表面积为_.,3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的外表积是()A.8 cm2B.12 cm2C.16 cm2D.20 cm2,解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,球的半径为球的外表积S=4.,答案:B,4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍,解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V,3,=,3,3,=36,两个小球的体积和V,1,+V,2,=,(1,3,+2,3,)=12.最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.,答案:C,易错探究,例4:(2023广州模拟)某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),依据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是_cm3.,例2:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，,试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.,(准确到0.01cm),8,6,6,18,5,15,15,11,11,x,/,y,/,z,/,解：,这个奖杯的体积为,V=V,正四棱台,+V,长方体,+V,球,V,正四棱台,V,长方体,=6818=864,V,球,=,所以这个奖杯的体积为,V,1828.76(cm,3,),O,A,B,C,例过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，外表积,解：如图，设球O半径为R，,截面O的半径为r，,例题讲解,O,A,B,C,例题讲解,力气提升,例.球面上有四个点PABC,假设PAPBPC两两相互垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的外表积.,解:要求球的外表积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一个球内接正方体,其棱长为a.,【,总一总,成竹在胸,】,1.球的外表积公式；,2.球的体积公式.,再见,