,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机械工程学院机自所动态室,*,第三章 信号的频域分析,3.1,信号的,频谱和,FFT,算法及应用,3.2,相干分析,及应用,3.3,频谱细化分析,(ZOOM-FFT),3.4,倒频谱(Cepstrum)分析,及应用,3.5,信号调制与解调分析,3.6,时间序列建模与自回归谱分析,3.7,全息谱理论和方法,11/15/2024,1,机械工程学院机自所动态室,第三章 信号的频域分析 3.1 信号的频谱和FFT算法及,第三章 信号的频域分析,3.1,信号的,频谱和,FFT,算法及应用,3.2,相干分析,及应用,3.3,频谱细化分析,(ZOOM-FFT),3.4,倒频谱(Cepstrum)分析,及应用,3.5,信号调制与解调分析,3.6,时间序列建模与自回归谱分析,3.7,全息谱理论和方法,11/15/2024,2,机械工程学院机自所动态室,第三章 信号的频域分析 3.1 信号的频谱和FFT算法及,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频率成分以及分布情况。,信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱分析两大类。,经典频谱分析是一种非参数、线性估计方法，其理论基础是信号的傅里叶变换。,现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程参数模型的参数估计为基础。,11/15/2024,3,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用频谱是信号在频域上的重,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.1,傅里叶级数与离散频谱,根据傅里叶级数理论，任何周期性信号 均可展开为若干简谐信号的叠加。,(3.1.1),其中，是静态分量,是基频,是第 次谐波(),，是第 次谐波的幅值,是第 次谐波的相位。,11/15/2024,4,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1 傅里叶级数,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.1,傅里叶级数与离散频谱,各系数分别为,(3.1.2),其中，是基本周期，是基频。,11/15/2024,5,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1 傅里叶级数,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.1,傅里叶级数与离散频谱,周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。,图3.1.1 周期信号的傅立叶级数分解,11/15/2024,6,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1 傅里叶级数,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.1,傅里叶级数与离散频谱,傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式,(3.1.3),(3.1.4),(3.1.5),式,(3.1.1)中,可写为,(3.1.6),其中离散频谱,(3.1.7),11/15/2024,7,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1 傅里叶级数,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.1,傅里叶级数与离散频谱,为一复数，由周期信号 确定。它综合反映了 次谐波的幅值、相位及频信息。频率 的取值范围也扩展到负频率。,展开系数 和 与正负,频率对应。在实轴上的合成结,果正好形成了代表谐波幅值的,实向量，而在虚轴上的合成结,果正好抵消为零。,周期信号的频谱具有离散,性、谐波性和收敛性三个特点。,图3.1.2 谐波幅值的向量分解,11/15/2024,8,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1 傅里叶级数,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.2,傅里叶变换与连续频谱,当周期信号 的周期 趋于无穷大时，变成连续变量 ，求和符号,就变成积分符号,，于是得到傅里叶积分,。,(3.1.8),由于时间 是积分变量，故上式括号内积分之后仅是 的函数，记作,(3.1.9),(3.1.10),式(3.1.9)为 的傅里叶变换，式(3.1.10)为其傅里叶逆变换，互称为变换对。,11/15/2024,9,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2 傅里叶变换,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.2,傅里叶变换与连续频谱,为 的连续频谱。一般 是复函数，可写成,(3.1.10),式中，|为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。,非周期信号的幅值谱|和周期信号的幅值谱|很相似，但两者是有差别的：,|的量纲与信号幅值的量纲一样；,|的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带 上的幅值。,称由信号 求出它的频谱 的过程为对信号作谱分析。,求矩形窗函数 频谱的例子，见p45。,11/15/2024,10,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2 傅里叶变换,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,傅里叶变换的性质,1、线性叠加性质 若 ，则,2、时移性质 若 ，则,3、频移性质 若 ，则,4、时间伸缩性质 设 ，,a,为正实数，则,5、时间微分性质 若 ，则,6、时间积分性质 若 ，且 ，则,7、卷积定理 若 ，则,及,11/15/2024,11,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用 傅里叶变换的性质9,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.3,离散傅里叶变换,(DFT),离散傅里叶变换对为,正变换,(3.1.15),逆变换,(3.1.16),式中，是 采样值，是序列点数，是采样间隔，是频域离散值的序号，,是时域离散值的序号。采样间隔 不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有,正变换,(3.1.17),逆变换,(3.1.18),式中，。,11/15/2024,12,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.3 离散傅里叶,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.4,快速傅里叶变换,(FFT),当,N,=4,时，离散傅里叶变换式,(3.1.17),可写成,(3.1.19),由于 和 可能都是复数，若计算所有的离散值 ，需要进行 =16次复数乘法和 次复数加法的运算。计算量将以 进行增长。,以,Cooley-Tukey,计算序列数长 (为正整数)的算法来说明FFT的基本原理。将离散傅里叶变换式,(3.1.17),写成如下形式,(3.1.20),式中，,11/15/2024,13,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4 快速傅里叶,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.4,快速傅里叶变换,(FFT),FFT,先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。,原始序列 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1个长度为8的序列,第一次抽取,x0 x2 x4 x6,x1 x3 x5 x7,2个长度为4的序列,第二次抽取,x0 x4,x2 x6,x1 x5,x3 x7,4个长度为2的序列,第三次抽取,x0,x4,x2,x6,x1,x5,x3,x7,8个长度为1的序列,N=8时的计算流程图。,逆变换的计算同理。,计算量由 降为,11/15/2024,14,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4 快速傅里叶,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.5,FFT,的校正算法,当,FFT计算,时，矩形窗引起能量泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。,1）比值校正算法,通过主瓣中心两侧的两根谱线的,幅值和频率的大小，利用窗函数的频,谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。,设,x,为主瓣中心与左谱线的距离，,由窗函数的频谱函数 构成如下函数:,(3.1.25),校正频率为 ，校正幅值 ，校正相位,2）峰值搜寻算法,优化 ，约束条件,(3.1.33),取得极小值的,x。,11/15/2024,15,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.5 FFT的校,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.6,确定性信号的傅里叶谱分析,确定性信号 的傅里叶谱 是个复数，因此它包含实频、虚频或幅频、相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：,(1)实频特性及虚频特性表示,实频 ，虚频 。,(2)幅频特性及相频特性表示,幅频 ，相频,(3)幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示,将 视为极坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示 的幅频、相频率特性。,傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。,(1)幅值谱 。，等权(权重均为1)谱。,(2)均方谱 。,变权重谱(权重取决于频率分量幅值)。,(3)对数谱 。，变权重谱(权重大小不同)。,11/15/2024,16,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.6 确定性信号,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.7,功率谱密度函数,功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率 的分布。,自功率谱密度函数是信号 的自相关函数 的傅里叶变换。,(3.1.34),自功率谱密度函数 是实偶函数。,自功率谱密度函数 的傅里叶逆变换为 。,(3.1.35),当 时，函数 的物理意义为信号能量的度量,于信号的均方值。,(3.1.36),称为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱,(3.1.37),11/15/2024,17,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7 功率谱密度,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用,3.1.7,功率谱密度函数,两组信号 和 的互谱密度函数定义为互相关函数 的,傅里叶变换,(3.1.38),相应的傅里叶逆变换为,(3.1.39),单边互谱密度函数定义为,(3.1.40),由于互谱密度函数是复函数，所以单边互谱密度函数 又可写成,(3.1.41),称为共谱、协谱或余谱，称为正交谱、方谱或重谱。,11/15/2024,18,机械工程学院机自所动态室,3.1 信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7 功率谱密度,第三章 信号的频域分析,3.1,信号的,频谱和,FFT,算法及应用,3.2,相干分析,及应用,3.3,频谱细化分析,(ZOOM-FFT),3.4,倒频谱(Cepstrum)分析,及应用,3.5,信号调制与解调分析,3.6,时间序列建模与自回归谱分析,3.7,全息谱理论和方法,11/15/2024,19,机械工程学院机自所动态室,第三章 信号的频域分析 3.1 信号的频谱和FFT算法及,3.2 相干分析及应用,3.2.1,相干函数的概念,相干函数分析建立在平稳机械信号的自功率谱密度函数 、和互功率谱密度函数 之上。相干函数(凝聚函数)的定义如下,(3.2.1),相干函数是频率的函数。它在频域内描述信号 和 的相关性。具有明确的物理意义，它反映了信号 中频率 的分量在多大程度上来源于信号 。,一般情况下相干函数 取值在01之间:,(1)测量中存在外部噪声；,(2)谱估计中存在分辨率偏差；,(3)系统是非线性的；,(4)除了输入信号 之外还有其它输入。,11/15/2024,20,机械工程学院机自所动态室,3.2 相干分析及应用3.2.1 相干函数的概念9/29/,3.2 相干分析及应用,3.2.2,相干函数的工程应用,(1)判断系统输出与某特定输入的相关程度。,利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。,(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。,在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，可以分析出机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。,(a)输入信号的功率谱和输出信号的功率谱 (b)幅频特性、相频特性和相干函数,11/15/2024,21,机械工程学院机自所动态室,3.2 相干分析及应用3.2.2 相干函数的工程应用9/2,第三章 信号的频域分析,3.1,信号的,频谱和,FFT,算法及应用,3.2,相干分析,及应用,3.3,频谱细化分析,(ZOOM-FFT)