Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,阻尼系数和固有频率,的丈量,8.1 阻尼系数的丈量,8.1.1 自在振动衰减法,图1 单自在度系统模型,图1所示的一个单自在度质量-弹簧-阻尼系统，其质量为m(kg)，弹簧刚度系数为k(N/m)，粘性阻尼系数为r(N.m/s)。当质量上接受初始条件t=0时，位移 ，速度 鼓励时，将做自在衰减振动。在弱阻尼条件下其位移呼应为,衰减系数,1,1 速度共振的相位判别法,计算出r；,此时相位差 ，即速度呼应与激振力 之间的相位差为0；,加速度信号与激振力信号之间的相位差,假设示波器轴上分别接入的是位移信号和加速度信号，那么屏幕上出现图，的图像。,3 传送函数与频响函数,，即激振力所作的功全部被阻尼所耗费。,在相频图上，当 时，而且与阻尼大小无关，系统处于相位共振形状，可以方便的识别出系统的固有频率 ；,图3所示为一个单自在度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。,当 时，其最大值 。,只需保证激振力幅值 是常量，的大小独一取决于激振力频率 。,1 速度共振的相位判别法,以 为横坐标，为纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对应的激振频率称为共振频率，测试系统发生了位移共振。,图10 强迫振动时幅频呼应曲线,图1 单自在度系统模型,图11单自在度粘性阻尼系统,呼应曲线如图2所示。,结论：,为衰减振动的周期，为衰减振动的频率，为衰减振动的圆频率。,图2 弱阻尼衰减振动的呼应曲线,从图2衰减振动的呼应曲线上可直接丈量出 ，然后根据 可计算出 n；计算出 p；可计算出,计算出r；计算出无阻尼时系统的固有频率 ；,计算出无阻尼时系统的固有周期,对于衰减系数n，可以用三种方法来计算：,1、由相邻的正逢或相邻的负峰幅值比计算,2、由相邻的峰-峰幅值比计算,3、小阻尼情况适用公式,8.1.2 半功率点法,图3所示为一个单自在度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。其质量为m(kg)，弹簧刚度系数为k(N/m)，粘性阻尼系数为r(N.m/s)。质量m上接受简谐激振力,作用。其强迫振动的位移呼应为,图3 单自在度系统模型,引入符号,那么有,上式中，相当于激振力的最大幅值 静止地作用在弹簧上所引起的弹簧静变形；称为频率比；称为放大因子，以 为横坐标，为纵坐标，对于不同的 值所得到的一组曲线，称为幅频呼应曲线，如图4所示图中只给出了一种 值；为位移呼应滞后力的相位角，以 为横坐标，为纵坐标，对于不同的 值所得到的一组曲线，称为相频呼应曲线，如图5所示。,图4 强迫振动幅频呼应曲线,图5 强迫振动相频呼应曲线,在幅频呼应曲线中，当 时，；当 时，其最大值 。在图中作一条程度线，其纵坐标为 ，与曲线交于 两点，该两点称为半功率点，两点之间的间隔为,图4 强迫振动幅频呼应曲线,8.1.3 共振法,强迫振动的位移呼应为,速度呼应为,速度幅值为,获得极值的条件为 ，即当 时，系统发生速度共振，,。此时相位差 ，即速度呼应与激振力 之间的相位差为0；阻尼力,，即激振力所作的功全部被阻尼所耗费。故有系统发生速度共振时，,因此，只需丈量系统发生速度共振时的速度幅值 和激振力幅值 ，即可计算出阻尼系数 ，并根据 算出衰减系数 ，算出相对阻尼系数 。,也可利用示波器力与速度的图像来丈量阻尼系数。如图6所示，将力信号接入示波器的x 轴，速度信号接入示波器的y 轴，两通道的放大倍数调成一致，因二者之间的相位差为0，故构成图示的直线，该直线的斜率即为阻尼系数，即,图6 共振法测阻尼的图像,假设x轴接入的是位移信号，那么构成的图像为正椭圆，椭圆与x、y轴的交点即为 和 。据此也可测出阻尼系数,8.2 固有频率的丈量,8.2.1 自在振动衰减法,系统的固有频率是指系统无阻尼时自在振动的频率，即 。,对图1所示的单自在度质量-弹簧-阻尼系统，当受初始扰动后，其自在振动的衰减曲线如图2所示。在曲线上可直接丈量并计算出衰减的周期 ，衰减系数 、相对阻尼系数 ，因此有,图1 单自在度系统模型,图2 弱阻尼衰减振动的呼应曲线,8.2.1 速度共振的相位判别法,图3 单自在度系统模型,图3所示为一个单自在度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。,位移呼应为,幅值B获得极值的条件为 ，即在该点发生共振。共振幅值,位移信号与激振力信号之间的相位差,以频响函数的实部为横坐标，虚部为纵坐标，绘出频响函数矢量随频率的变化图，这些变化矢量的端点轨迹图称为Nyquist图，图形方程为：,1、由相邻的正逢或相邻的负峰幅值比计算,计算出 p；,加速度信号与激振力信号之间的相位差,为 的拉氏变换，为 的拉氏变换。,可计算出,图11单自在度粘性阻尼系统,以 为横坐标，为纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对应的激振频率称为共振频率，测试系统发生了位移共振。,幅值B获得极值的条件为 ，即在该点发生共振。,假设丈量的是系统加速度幅值与激振频率之间的关系曲线，那么系统的共振频率与固有频率的关系为,图2 弱阻尼衰减振动的呼应曲线,也可利用示波器力与速度的图像来丈量阻尼系数。,1、由相邻的正逢或相邻的负峰幅值比计算,速度呼应为,幅值 获得极值的条件为 ，即在该点发生共振。共振幅值,速度信号与激振力信号之间的相位差,加速度呼应,幅值 获得极值的条件为 ，即在该点发生共振。共振幅值,加速度信号与激振力信号之间的相位差,图7 速度呼应判别速度共振,图8位移呼应判别速度共振,图9加速度呼应判别速度共振,速度共振的相位判别法的根据即为系统发生速度共振时，激振力和速度呼应之间的相位差为0。实验时，将激振力信号接入示波器的轴，速度呼应信号接入示波器的轴，改动激振信号的频率，根据李沙育原理，屏幕上将出现如图的图像。即当图像变成斜直线时，系统发生速度共振，此时，,，即激振力的频率就是系统的固有频率。,假设示波器轴上分别接入的是位移信号和加速度信号，那么屏幕上出现图，的图像。,8.2.稳态激振法,图3 单自在度系统模型,图3所示为一个单自在度质量-弹簧-阻尼系统强迫振动模型。,位移呼应为,位移幅值,系统确定后p,n,m是确定的。只需保证激振力幅值 是常量，的大小独一取决于激振力频率 。稳态激振法是每给定一个激振频率 ，丈量一次位移呼应幅值 ，从而得到一组 随 变化的数据。以 为横坐标，为纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对应的激振频率称为共振频率，测试系统发生了位移共振。,图10 强迫振动时幅频呼应曲线,式中，相对阻尼系数 可以经过半功率点法测得，在 的情况下也可忽略，此时系统的共振频率等于固有频率。,假设丈量的是系统速度呼应幅值与激振频率之间的关系曲线，那么系统的共振频率就是固有频率，即,假设丈量的是系统加速度幅值与激振频率之间的关系曲线，那么系统的共振频率与固有频率的关系为,8.3 传送函数与频响函数,图11单自在度粘性阻尼系统,由振动实际可知，图11所示单自在度粘性阻尼系统，阻尼力 ，系统运动的微分方程为：,对上式两边进展拉普拉斯变换，并假设初始速度、位移值为0，有,式中s为拉氏变换因子，为复变量，也称复频率，其实部和虚部常用 和 表示，即 ；为 的拉氏变换，为 的拉氏变换。按照机械系统传送函数的定义，有该系统的传送函数,对于自在振动，那么有 。在小阻尼的情况下，求得的一对共轭复根为,和 称为该系统的复频率，其实部 即为系统的衰减系数，虚部 为系统的有阻尼固有频率。,对系统运动的微分方程两边进展傅立叶变换，即 ，即有系统的频响函数,式中，为 的傅立叶变换，为 的傅立叶变换。,频响函数是频率的函数，为复数，即有幅值与相位，又有实部与虚部，常用以下曲线来描画其特性。,8.3.1 Bode图,频响函数的幅频图和相频图称为Bode图。对粘性阻尼，其模与相位角为,式中，为频率比，为相对阻尼系数，图形如图12,图12 频响函数的幅频与相频图,在相频图上，当 时，而且与阻尼大小无关，系统处于相位共振形状，可以方便的识别出系统的固有频率 ；在幅频图上，当 时，到达极大值，且 ，故可以识别出阻尼系数 。,8.3.2 实频图与虚频图,频响函数的实部和虚部分别为,其图形如图13所示。在实部图上，利用半功率点法可以识别出系统的相对阻尼系数 ，时虚部到达极大值，实部为0，系统处于共振形状，可识别出系统的固有频率。,图13频响函数的实部与虚部图,8.3.2 Nyquist图,以频响函数的实部为横坐标，虚部为纵坐标，绘出频响函数矢量随频率的变化图，这些变化矢量的端点轨迹图称为Nyquist图，图形方程为：,图形如图14所示。在图中虚部与图的交点处的频率即为系统的固有频率 p，实部到达极值的两点即为半功率点，由此可确定系统的相对阻尼系数。,图14 频响函数的Nyquist图,