单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,矢量函数,在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持不变（注,：零矢量的方向为任意的。但在矢量分析中仍将其作为一,特殊的常矢量）的常矢量。一旦矢量的大小或方向（或大,小和方向）随某一参数的不同取值（这里的参数取为实数,）而变化时，这样的矢量称为变矢量。由此引入矢量函数,的概念。,设,t,是实变参数，,x,是变矢量。如果,t,在确定的实数域中的每,一个值，都有确定变矢量,x,按确定的法则与之对应。则,x,与,t,的对应法则：,x,=,x,(,t,),（2.3-1）,称为矢量函数。或称为,x,为实数自变量的矢量值函数。,实数自变量的取值域（实数域）称为定义域。与定义域的,每一个取值对应的矢量函数值集合称为矢量函数的值域。,2.3 矢量函数在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持,1,v,1,v,1,v,b,v,b,v,a,v,a,v,0,v,0,s,1,b,a,s,0,o,s,x,1,x,2,i,1,i,2,图29,矢量函数与实变函数论中的函数一个,重要的区别,是：,实变函数的,每一个自变量的取值对应着唯一函数值,；矢量,的,每一个自变量的取值对应着唯一的按平行性确定的自由,矢量类,（自变量的每一个取值对应着具有唯一大小和方向,的所有相互平行的自由矢量）。,正是由于矢量函数的这一特点使得矢量函,数,x,(,t,)的变化状态能够用几何图形表示。,如质点在平面上沿曲线,s,以大小,度沿曲线,s,的切线方向从,s,0,运动至,s,1,（见图,29）。以时间,t,作为参数。质点的速度矢,量作为时间,t,的函数为,的速,图29给出了,时的,四个矢量。,于这四个矢量都是自由矢量，且,个矢量的起点按平行性移至,o,点。显然这四个位置矢量描,述了,。将这四,四个时刻的速度矢量。,由,v 1v 1v bv bv av av 0v 0s 1bas,2,当参数,t,由,t,0,到,t,1,连续变化时，,v,(,t,)的每一个取值所对应（按,平行性）位置矢量的终点在,x,1,o x,2,平面内描绘一条曲线,矢端曲线,。矢端曲线也称为矢量函数的图形。,更一般地有：对矢量函数,x,(,t,)的终点所描绘的曲线称为矢,端曲线或称为,x,(,t,)的图形。而,（2.3-1）,式称为,矢量方程,。,例12：,已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧,轨道半径,R=50cm,，小球运动速度的大小,o,x,2,x,1,v,(,),图210,。试求小球速度矢量方程；并在图,解：,以上各,值对应的,v,，将起点移至（按平行性）,o,点所得,矢端曲线如图所示。,中画出小球速度的矢端曲线。,当参数t由t0到t1连续变化时，v(t)的每一个取值所对应（,3,给定的标准正交坐标系,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,：,位置矢量,r,处的自由矢量,x,在,A,点基底,i,1,，,i,2,上的坐标与将,x,平移至,o,点的矢量的坐标相同。,当,x,是某一参数,t,的矢量函数时，对任意给定的,t,值，,x,(,t,)就,是,o,；,i,1，,i,2,，,i,3,坐标系中的确定自由矢量。且：,（2.3-2）,式中,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,3,(,t,)是参数,t,取给定值时,x,(,t,)自由矢量在基,底,i,1,，,i,2,，,i,3,上的坐标。图211给出二维矢量空间的示意。,o,r,x,x,2,x,1,i,2,i,2,i,1,i,1,图211,（2.3-2）式中的,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,3,(,t,)称为矢量,x,(,t,)的参数方程。参数方程在,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,中描绘的曲线正是矢端曲线。,对依赖多个参数变化的矢量，类似式（2.3-1）,和（2.3-2）可定义多参数变量的矢量函数。设,矢量,x,依赖参数,。则：,（2.3-3）,给定的标准正交坐标系o；i1，i2，i3：位置矢量r处,4,（2.3-4）,称为多参数变量矢量函数的矢量方程。,称为多参数变量矢量函数的参数方,程。参数方程在,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,中描绘的曲线称为矢端曲,线（面）。,具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：,设,x,=,x,(,t,),b,t,a,。在平面坐标系,o,；,i,1,，,i,2,中，矢量,x,随,t,的变化，且：,x,1,x,2,x,1,(,t,*,),x,2,(,t,*,),t,*,a,0,b,o,i,1,i,2,图212,x,完全由,x,1,(,t,),x,2,(,t,)的变化确定。,对,t,的每一个给定值,t=t,*(,b,t,*,a,)，由,x,1,(,t,),x,2,(,t,)在,i,1,，,i,2,坐,标轴上确定两个点。其坐标值为,（如图212所示）。,同时在坐标系,o,；,i,1,，,i,2,中,坐标确定一点,A*,。位置矢量,，,b,区间的不同取值,x,(,t,)位置矢量平面描绘一条曲线。,显然随,t,在,a,（2.3-4）称为多参数变量矢量函数的矢量方程。称为多参,5,对矢量函数：,o,x,1,x,2,t,2,t,1,o,B,1,B,2,A,2,A,1,b,2,b,1,a,2,a,1,图2-13,当,t,2,=,b,2,时：,由于,b,2,是一固定值，因此,x,=,x,(,t,1,b,2,)只随,t,1,参数在,a,1,，,b,1,区间的,不同取值而变化。且随,t,1,的变化,x,(,t,1,b,2,)在,x,1,o x,2,平面内描绘一条曲,线(矢端曲线),A,1,B,1,。同理当,t,2,=,a,2,时,x,(,t,1,a,2,)，在,x,1,o x,2,平面内描绘一条曲线(矢端曲线),A,2,B,2,。显然当,t,2,从,a,2,到,b,2,连续取值时，,x,(,t,1,t,2,)在,x,1,o x,2,平面内,A,1,B,1,到,A,2,B,2,的一组连续曲线构成的曲面。如图213所示。,（,注：在二维矢量空间是一平面；在三维矢量空间是空间,曲面。在大于三维的矢是空间是超曲面,）。,该曲面（或超曲面）称为矢端曲面。,对矢量函数：ox 1x 2t 2t 1oB 1B 2A 2,6,3,/4,x,1,x,2,o,o,2,1,1,-,1,2,1,r,/4,=,/,4,=,/,3,=,2,/,3,=,3,/,4,图214,例13：,若,，试求当,时的矢端曲面。,解：,当,时：,当,时：,当,r,=1时：,当,r,=2时：,结果如图图213所示,。,3/4x 1x 2oo211-121r/4=/4,7,2.4,矢量函数分析,在实变函数理论中。一旦函数给定，对函数可进行极,限运算、连续性及微分积分的分析。对矢量函数，当,引入极限的定义后，同样可以进行极限运算、连续性,及微积分的分析。以下主要讨论单参数矢量函数的极,限运算、连续性及微分积分的分析。并且对连续的矢,量函数，单参数矢量函数的分析结论很容易推广到多,个参数的矢量函数分析中。,2.4 矢量函数分析在实变函数理论中。一旦函数给定，对函数,8,设,x,=,x,(,t,)在,t,的取值域内的某确定点,t,0,的邻域内有定义。且,存在一常矢量,x,0,使得对任意给定的正数,都存在一个正数,当满足：,时。总有矢量,x,(,t,)与矢量,x,0,之差的模满足：,成立。则称当,时,x,0,是,x,=,x,(,t,)的极限。且记为：,对给定的,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,坐标系,x,=,x,(,t,)可表示为：,（2.4-1）,显然当,x,=,x,(,t,)在,t,0,的极限存在。则：,这等价于：,因此有如下结论：,（2.4-2）,设x=x(t)在t的取值域内的某确定点t0的邻域内有定,9,这一结论推广到多个参数矢量函数中可表述为：若矢量,在,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,坐标中的表示：,的坐标,当,时的极限,存在，且极限值为,，则当,时,的极限存在。且,的极限为：,（2.4-3）,矢量函数的极限运算法则：,（证明略）,（2.4-4）,这一结论推广到多个参数矢量函数中可表述为：若矢量 在o；i,10,矢量函数,x,=,x,(,t,)的连续性：,参数,t,变化时,x,=,x,(,t,),方向变化,的连续性和,x,=,x,(,t,),大小变,化,的连续性确定矢量函数,x,=,x,(,t,)的,连续性,。,矢量,x,=,x,(,t,)在,t,0,点的左极限（,t,从,t,0,的左面趋于,t,0,）和右,极限（,t,从,t,0,的右面趋于,t,0,）分别为：,矢量,x,(,t,)的左、右极限满足：,（2.4-5）,则称,x,(,t,)在,t,0,点的矢量方向变化是连续的。当,x,(,t,)在参数的,某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称,x,(,t,),在参数的取值区间内的矢量方向变化是连续的。,矢量,x,(,t,)的左、右极限满足：,（2.4-6）,则称,x,(,t,)在,t,0,点的矢量大小变化是连续的。当,x,(,t,)在参数的,某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称,x,(,t,),在参数的取值区间内的矢量大小变化是连续的。,矢量函数x=x(t)的连续性：参数t变化时 x=,11,矢量,x,(,t,)的左、右极限满足：,（2.4-7）,则称,x,(,t,)在,t,0,点的矢量变化是连续的。当,x,(,t,)在参数的某一,区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称,x,(,t,)在参,数的取值区间内的矢量变化是连续的。,例14：,已知矢量函数：,1,2,3,试分析矢量函数的连续性；并画出矢量的矢端曲线。,解：,矢量 x(t)的左、右极限满足：（2.4-7）则称x,12,1,-,1,1,x,1,i,1,i,2,x,2,(,a,),1,-,1,-,1,1,i,2,x,2,x,1,i,1,(,b,),图215,x,2,-,2,-,2,1,-,1,-,1,1,i,2,x,1,i,1,1,(,c,),1在 0,区间内：,对0,t,的任意取值都有：,因此矢量函数,x,(,t,)是连续的矢量函,数。矢端曲线如图215（,a,）所示。,2在 0,/2,区间内：,在,/2,区间内：,1-11x 1i 1i 2x 2(a)1-1-11i 2x,13,显然在0,区间内矢量函数的大小变化是连续的；在0,/2 区间和在,/2,区间矢量函数的方向变化是连续,的。但在,t,=,/2时矢量函数,x,(,t,)的方向变化不连续。因为,t,=,/2时：,（2.4-5）式无法满足。因此矢量函数在区间 0,内除,t,=,/2 点不连续，其它各点处均连续。矢端曲线如图215,（b）所示。,3在0,/2区间：,在,/2,区间：,显然在0,区间内矢量函数的大小变化是连续的；在0,（,14,显然在 0,/2区间内矢量函数是连续函数；在,/2,区间矢量函数是连续函数。但在,t,=,/2时矢量函数,x,(,t,)的大小和方向变化不连续。因为,t,=,/2时：,（2.4-5）式和（2.4-6）式均无法满足。因此,x,(,t,)在,t,=,/2,点不连续。矢端曲线如图215（,c,）所示。,矢量函数的连续性对矢量的分析具有重要意义。当矢量函,数在参数的变化区间内是连续函数时，矢量分析将可以通,过连续实函数的分析加以描述和确定。在后文的分析中如,无特别声明，文中所给的矢量函数都是连续的矢量函数。,且对连续的矢量函数不在明确参数变化的区间。,显然在 0,/2区间内矢量函数是连续函数；在/2,15,设连续矢量函数,x,=,x,(,t,)的起点为,o,点。定义,x,=,x,(,t,)在,t,点的,矢量增量为：,（2.4-8）,并定义极限：,（2.4-9）,为连续矢量函数,x,=,x,(,t,)在,t,点的导数。记为,或,将（2.4-9）在,o,；,i,1,，,i,2,，,i,3,坐标系中表示。则：,设连续矢量函数x=x(t)的起点为o点。定义