,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学奥数中的“余数问题”,余数的定义,一般地，如果a是整数，b是整数（b0），若有abqr，或者abqr，0rb,当r0时，称a能被b整除；,当r 0时，称a不能被b整除，r为a除于b的余数，q为a除于b的商。,1,小学奥数中的“余数问题”余数的定义1,余数的性质,（1）被除数除数商余数,除数（被除数余数）商,商（被除数余数）除数,（2）余数小于除数,2,余数的性质2,同余定理（一）,如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于余数来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a,b,c均为自然数）,3,同余定理（一）3,同余定理（二）,a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之和（或这个和除于c的余数）,例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（2316）除于5的余数等于314,例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（2319）除于5的余数等于（34）除于5的余数，即2,4,同余定理（二）4,同余定理（三）,a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之积（或这个积除于c的余数）,例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（2316）除于5的余数等于313,例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（2319）除于5的余数等于（34）除于5的余数，即2,5,同余定理（三）5,1小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_,余数是_.,2.,a,24=121,b,要使余数最大，被除数应该等于_.,3.一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_.,6,1小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54,解1.48,44.,依题意得 被除数=7854+8=4220,而4220=8748+44,所以正确的商是48,余数是44.,解 2.2927,因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有,被除数=24121+23=2927,解3.831,这个三位数可以写成 37商+17=36商+(商+17).,根据“被36除余3”.(商+17)被36除要余3.商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合).,因此,这个三位数是3722+17=831.,7,解1.48,44.7,4.393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_个,它们是_.,解：4.4;11,35,55,77,393减8,那么差一定能被两位数整除.,393-8=385,385=5711=(57)11=(511)7=(711)5,385能被两位数11，35，55，77整除.,8,4.393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_,5.3145368765987657的积,除以4的余数是_.,解：5.1,314534=78631,687654=171911,9876574=2469141,111=1,3145368765987657的积除以4余数是1.,9,解：5.19,6.8888乘以6666的积，除以7余数是,50个8 50个6,解：.5,因为111111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除.而50=68+2,故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与66被7除的余数相同,进而得:被乘数被7除余4,乘数被7除余3.所以乘积与(43=)12被7整除的余数相同.因此得乘积被7除的余数是5.,10,6.8888乘以6666的积，除以7余数是 解：,7.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_点钟.,解：7.16,因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈,时针旋转2圈.若以现时18点整为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上.,由199024=82余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整.,11,7.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990,8.甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，这样，报1990这个小朋友是_.,解8.丁,根据小朋友报数顺序列表如下:,甲 乙 丙 丁,1 2 3 4,5 6,7 8 9 10,11 12,由上表可知每6个数号为一组的报数的规律.由19906=3314，根据余数是4可知报1990的小朋友是丁.,12,8.甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进,9.如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将199219921992只彩灯依次反复排列，那么,1991个1992,何种颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.,解：9.紫,考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被7除的余数即可.经试除得:199219921992能被7整除,而1991被3除余2,所以彩灯总数与19921992被7除的余数相同,均为6.所以,紫色的彩灯要比其它颜色的彩灯少一只.,13,9.如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将199219,10.从7开始,把7的倍数依次写下去,一直写到994成为一个很大的数:71421987994.这个数是_位数.,解：10.411,97=12,一位数中能被7整除的数有1个；,997=141,两位数中能被7整除的数有（14-1=）13个；,9997=1425,三位数中能被7整除的数有 142-13-1=128（个）,所以，这个数的位数为：1+132+1283=411,14,10.从7开始,把7的倍数依次写下去,一直写到994成为一,