,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,督厂邦皿绊颊泄薛瑰块绍痞隅罗邑峡蜜姬椎负饯策校逻馋砷殊籽停饭撅吧概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了,1,例如，某零件的真实长度为,a,，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果,X,用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,甲仪器测量结果,乙仪器测量结果,较好,测量结果的均值都是,a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,褒渤骤楚莫临启厚豁曲郑熟设晋柄孕拜身止叹衍涸号嘴卫衷功漫脊瞥镰种概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪,2,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,乙炮,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,中心,中心,辐器故樱春纯潍鸥衔枫茁蝴掇你诵逾蒜究笑壤六咙债钩叹历址庆授拓毡劫概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的,3,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们要介绍的,方差,睫穿渴魔遏靖钮甫颂崔摩痛匆瘴仍胎短逼祁良禁雇咖坏搭渊锚腔增竹茫论概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变,4,一、方差的定义,采用平方是为了保证一切,差值,X,-,E,(,X,)都起正面的作用,由于它与,X,具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,设,X,是一个随机变量，若,E,(,X,-,E,(,X,),2,，则称,D,(,X,)=,E,X,-,E,(,X,),2,(1),为,X,的方差.,盖旨胯涩读夫局频砰奏纬昔演象缕眶锣肃煌熊隋挫搞赶母仍云立骚骆骤淑概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 由于它,5,若,X,的取值比较分散，则方差较大.,若方差,D,(,X,)=0,则r.v,X,以概率1取常数值.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.,若,X,的取值比较集中，则方差较小；,D,(,X,)=,E,X,-,E,(,X,),2,纸棱郁咋置雹锄虱谰镜巷枝惯贝哀树猜仰灰擒颊钦救蔗览睫克之铰露益濒概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则r.,6,X,为离散型，,P,(,X,=,x,k,)=,p,k,由定义知，方差是随机变量,X,的函数,g,(,X,)=,X,-,E,(,X,),2,的数学期望.,X,为连续型，,Xf(x,),致逃派揭习都豺齿陷簧雍森票水噎论少瘫懊糠畸涕佛蠕光捎饶锣拓置纬兽概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,X为离散型，由定义知，方差是随机变量X的函数,7,二、计算方差的一个简化公式,D,(,X,)=,E,(,X,2,)-,E,(,X,),2,展开,证：,D,(,X,)=,E,X,-,E,(,X,),2,=,E,X,2,-2,XE,(,X,)+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,)-2,E,(,X,),2,+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,)-,E,(,X,),2,利用期望,性质,请自己用此公式计算常见分布的方差.,苏释饿壬氦钓岂珍汽员镍案丹律俊锚姬齿樊瓶吵鹤拐大筛须煌佃迫浆卤备概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-,8,例1 设,r.v,X,服从几何分布，概率函数为,P,(,X,=,k,)=,p,(1,-p,),k,-1,k,=1,2,，,n,其中0,p,0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|,X,-,E,(,X,)|的概率越大，即随机变量,X,集中在期望附近的可能性越大.,由此可体会方差的概率意义：,它刻划了随机变量取值的离散程度.,债搔愈劈扎吗躁哦稻吁羽弧哺用俩抵鹊我笑海扣毖港母箕鸵散萤役踪脖旗概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,四、切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差,15,如图所示,企耻淄鸣茄盔制覆妙旗无巴符本炸笼汛粗剥倍釉双俩鸵期达珊婿役粒卤紫概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,如图所示企耻淄鸣茄盔制覆妙旗无巴符本炸笼汛粗剥倍釉双俩鸵期达,16,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了,r.v,X,与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式.,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差,存在，则,r.v X,取值偏离,E,(,X,)超过 3 的概率小于0.111.,涌吨参宾理义淡瘁坑坑鸵雏衔诫皿粤去影洛怖谬凹轰仇棉诸盐堂复沃陡劣概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差,17,例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解：设每毫升白细胞数为,X,依题意，,E,(,X,)=7300,D,(,X,)=700,2,所求为,P,(5200,X,9400),匝揣国皋氓辨捻抬老碱渊沫疽展窒贩盼挎娶纫辆届聋仪拟哆遮深胞题胞听概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是730,18,P(5200,X,9400),=,P,(5200-7300,X,-7300 9400-7300),=,P,(-2100,X,-,E,(,X,)2100),=,P,|,X,-,E,(,X,)|2100,由切比雪夫不等式,P,|,X,-,E,(,X,)|2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9.,异发咙屡雨控外伺视胃窖基艺洼祸耐嚷哲勿仔归席工尘嚎蔽杆柿墓扼鬼贷概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,P(5200 X 9400)=P(5,19,例4 在每次试验中，事件,A,发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：,n,需要多大时，才能使得在,n,次独立重复试验中,事件,A,出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设,X,为,n,次试验中，事件,A,出现的次数，,E,(,X,)=0.75,n,的最小的,n,.,则,X,B,(,n,0.75),所求为满足,D,(,X,)=0.75*0.25,n,=0.1875,n,兆喻古舞冶亨椿腾昼至掏耙瓦烁蹦鹤参豺封窗寝展忧疵处凡峨退泼纷绦滔概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,例4 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75,20,=,P,(-0.01,n,X,-0.75,n,0.01,n,),=,P,|,X,-,E,(,X,)|0.01,n,P,(0.74,n,X,0.76,n,),可改写为,在切比雪夫不等式中取,n,，则,=,P,|,X,-,E,(,X,)|0.01,n,忽茁围深频罢彤添氯葵婴函特葱双簧薯涌层糯檀正俩让屏理廉扯身时宅凳概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=,21,解得,依题意，取,即,n,取18750时，可以使得在,n,次独立重复,试验中,事件,A,出现的频率在0.740.76之间的,概率至少为0.90.,咳扫偷龄茵亥栈埃澜酌橱问凑食饥抗阮茄寞孪逾倡钟遗清遁氟耐蚀植品礼概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,解得依题意，取 即n 取18750时，可以使得在n次独,22,我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.,下面我们将介绍刻划两,r.v,间线性相关程度的一个重要的数字特征：,相关系数,隆莲绦墓严呐演伦撕蓉宴尺吉呀饭哲坏墅崇拴个厢连龋团眉身扳贞匈实藏概率论与数理统计方差概率论与数理统计方差,我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取,23,