单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直角三角形的射影定理,直角三角形的射影定理,一、知识回顾,前面已经学习了相似三角形的判定与性质及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。,大家先回忆一下：,(1),一锐角相等,(2),任意两边对应成比例,.,1.,勾股定理,2.,直角三角形相似的判定方法,在,Rt,中，,=90 ,有_.,C,A,B,一、知识回顾前面已经学习了相似三角形的判定与性质及直角三角形,1.,想一想：,（,2,）线段留在,MN,上的影子是什么？,2.,射影的定义：,（,1,）太阳光垂直照在,A,点，留在直线,MN,上的影子应是什么？,A,M,N,.,直角三角形的射影定理,二、新课教学,点,点或线段,l,A,B,过线段,AB,的两个端点分别作直线,l,的垂线，,垂足 ，之间的线段 叫做线段,AB,在,直线,l,上的,正射影,。,点和线段的正摄影简称,射影,。,B,C,D,1.想一想：（2）线段留在MN上的影子是什么？2.射影的定,各种线段在直线上的射影的情况：,直角三角形的射影定理,A,B,l,l,A,B,A,B,l,如图所示，,ADBC,，,EFBC,指出点,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,、,G,和线段,AB,、,AC,、,AF,、,FG,在直线,BC,上的射影。,B,E,D,C,A,F,G,口答：,各种线段在直线上的射影的情况：直角三角形的射影定理,3.,射影定理,如图,CD,是 的斜边,AB,的高线,这里,:,AC,、,BC,为直角边，,AB,为斜边,AD,是直角边,AC,在斜边,AB,上的射影,BD,是直角边,BC,在斜边,AB,上的射影,由射影的定义，我们很容易知道：,探究,C,A,D,B,你能发现这些线段之间的某些关系吗？线段,AC,、,BC,、,DC,是哪些线段的比例中项呢？,3.射影定理如图,CD是 的斜边,如图，,由,直角三角形相似的判定方法,，得,推出：,所以：,同理，得：,直角三角形的射影定理,CDB,C,A,D,B,如图，由直角三角形相似的判定方法，得推,直角三角形的射影定理,直角三角形中,，斜边上的高线是两条直角边在斜边,的射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜,边上的射影和斜边的比例中项,.,用文字如何叙述？,BC,是,BD,AB,的比例中项,；,AC,是,AD,AB,的比例中项,；,CD,是,BD,AD,的比例中项。,射影定理,C,A,D,B,直角三角形的射影定理直角三角形中，斜边上的高线是两,利用射影定理证明勾股定理,:,利用勾股定理证明射影定理,:,AB,2,=(AD,DB),2,=AD,2,2AD DB,DB,2,=(AC,2,-CD,2,)+2AD DB+(BC,2,-CD,2,)=,AC,2,+BC,2,+2(AD DB-CD,2,),AB,2,=AC,2,BC,2,AD DB-CD,2,=0,CD,2,=AD DB,直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项,;,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,;,C,A,D,B,利用射影定理证明勾股定理:利用勾股定理证明射影定理:AB2,例,1,、如图，圆,O,上一点,C,在直径,AB,上的射,影为,D,，,AD=2,，,DB=8,，求,CD,、,AC,和,BC,的长。,A,B,C,D,O,直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项,;,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,;,分析：利用射影定理和勾股定理,解：,ACB,是半圆上的圆周角,ACB=90,即,ABC,是直角三角形,；,；,由射影定理可得,解得,解得,解得,；,4.,例题讲解,例1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD=,(1),在 中,CD,为斜边,AB,上的高,图中共有,6,条,线段,AC,BC,CD,AD,DB,AB,已知,任意两条,便可求出,其余四条,.,(2),射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知,两条,可求,第三条,。,(3),解题过程中,注意和,勾股定理,联系,选择简便方法,.,小 结,(1)在 中,CD为斜边AB上的,A,B,C,D,直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项,;,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,;,例,2,、如图，,ABC,中，顶点,C,在,AB,边上的射影为,D,，且,求证：,ABC,是直角三角形。,证明：在,和,中,，,ABCD直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边,小结,：,直角三角形射影定理的逆定理也是正确的,逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边 上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形。,1,、在,ABC,中，,C=90,，,CD,是斜边,AB,上的高，,已知,CD=60,，,AD=25,，求,BD,、,AB,、,AC,、,BC,的长。,5.,沙场练兵,2,、如图，,ABC,中，,BAC=60,0,，,CDAB,，,求证：,A,B,C,D,答案：,BD=144,，,AB=169,，,BC=156,小结：直角三角形射影定理的逆定理也是正确的逆定理：如果一个三,三、课堂小结,1.,射影的定义,2.,射影定理及其应用,四、布置作业,C,E,A,D,F,B,必做题：创新设计第,16,页,11,题,如图,在 中,ABC,选做题：,三、课堂小结1.射影的定义2.射影定理及其应用四、布置作业C,谢谢！,谢谢！,证法一,：,例,2.,如图,在 中,C,E,A,D,F,B,证法一：例2.如图,在 中,CEA,例,2.,如图,在 中,证法二：,C,E,A,D,F,B,1,2,例2.如图,在 中,证法二：CEA,