单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,讲 抛物线,1,抛物线的定义：平面上到定点的距离与到定直线,l,(,定,点不在直线,l,上,),的距离,_,的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛,物线的,_,，定直线为抛物线的,_,相等,焦点,准线,2,抛物线的标准方程、类型及其几何性质,(,p,0),：,C,y,1,抛物线,y,8,x,2,的准线方程为,(,),C,A,y,1,16,B,x,1,16,1,32,D,x,1,32,2设 a0，aR，那么抛物线 y4ax2的焦点坐标为 .,3抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线,yx 与抛物线 C 交于 A、B 两点，假设(2,2)为 AB 的中点，那么抛物,线,C,的方程为,_.,y,2,4,x,解析：,设抛物线为,y,2,kx,，与,y,x,联立方程组，消去,y,，得：,x,2,kx,0,，,x,1,x,2,k,2,2,，故,y,2,4,x,.,B 两点，那么OAOB_.,4,设坐标原点为,O,，抛物线,y,2,2,x,与过焦点的直线交于,A,、,3,4,5,过抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点,F,作倾斜角为,45,的直线,交抛物线于 A、B 两点，假设线段 AB 的长为 8，那么 p_.,2,考点,1,抛物线的标准方程,例,1,：顶点在,原点，焦点在,x,轴上的抛物线被直线,y,2,x,1,截得的弦长为 ，求抛物线的方程,解得,a,12,或,a,4,，,所以抛物线方程为,y,2,12,x,或,y,2,4,x,.,这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨,论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，导致失去一,解,【,互动探究,】,1,求以原点为顶点，坐标为对称轴，焦点在直线,x,2,y,4,0,上,的抛物线的标准方程,考点,2,抛物线的几何性质,例 2：抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的,动点，又有点 A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值,时 P 点的坐标,图 1231,【互动探究】,2抛物线的方程为标准方程，焦点在 x 轴上，其上点,),B,P(3，m)到焦点距离为 5，那么抛物线方程为(,Ay28x By28x,Cy24x Dy24x,考点,3,运用平面几何性质解题,例,3,：设抛物,线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点为,F,，经过点,F,的直线,交抛物线于,A,、,B,两点，点,C,在抛物线的准线上，且,BC,x,轴,证明直线,AC,经过原点,O,.,解题思路：证直线 AC 经过原点 O，即证 O、A、C 三点共,线，为此只需证 kOCkOA.此题也可结合图形特点，由抛物线的,几何性质和平面几何知识去解决,故直线 AC 经过原点 O.,方法二：如以下图 1232，记准线 l 与 x 轴的交点为 E，,过 A 作 ADl，垂足为 D.,图,12,3,2,那么 ADEFBC.连接 AC 交 EF 于点 N，,那么,|,EN,|,|,AD,|,|,CN,|,|,AC,|,|,BF,|,|,AB,|,，,|,NF,|,|,BC,|,|,AF,|,|,AB,|,.,|,AF,|,|,AD,|,，,|,BF,|,|,BC,|,，,|,EN,|,|,AD,|,BF,|,|,AB,|,|,AF,|,BC,|,|,AB,|,|,NF,|,，,即,N,是,EF,的中点从而点,N,与点,O,重合,故直线,AC,经过原点,O,.,：此题的“几何味特别浓，这就为此题,注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到 yAyB,p2这个重要结论方法二充分利用了平面几何知识，这提,醒广阔师生对圆锥曲线几何性质的重视，这样才能挖掘出丰富,多彩的解析几何的题目,错源：忽略了特殊情形,例,4,：,动点,M,(,x,，,y,),到,y,轴的距离比它到定点,(2,0),的距离小,2,，求动点,M,(,x,，,y,),的轨迹方程,误解分析：,没有注意到抛物线的图像特征，导致漏解,正解：,动点,M,到,y,轴的距离比它到定点,(2,0),的距离小,2,，,动点,M,到定点,(2,0),的距离与到定直线,x,2,的距离相,等,动点,M,的轨迹是以,(2,0),为焦点，,x,2,为准线的抛物线，,且,p,4,，,y,2,8,x,.,又,x,轴上原点左侧的点到,y,轴的距离比他到,(2,0),点的距离,小,2,，,M,点的轨迹方程为,y,0(,x,0),故动点,M,的轨迹方程为,y,0(,x,0),或,y,2,8,x,.,纠错反思：错解只考虑了一种情况.在此题中，2,0到 y,轴的距离为 2，所以 x 轴上原点左侧的点也满足题目条件.,例 5：(2021 年湖北)一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一,点到点,F,(1,0),的距离减去它到,y,轴距离的差都是,1.,(1),求曲线,C,的方程；,(2),是否存在正数,m,，对于过点,M,(,m,0),且与曲线,C,有两个交,围；假设不存在，请说明理由,解题思路：本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛,物线的性质等根底知识，同时考察推理运算的能力,|,|,1,抛物线的焦半径、焦点弦：,(1),y,2,2,px,(,p,0),的焦半径,|,PF,|,|,x,p,2,；,x,2,2,py,(,p,0),的焦半径,|,PF,|,|,y,p,2 .,，当,m,时，取得最小值,为 ，选,A.,1,抛物线,y,x,2,上的点到直线,4,x,3,y,8,0,距离的最小,值是,(,),A,A.,4,3,B.,7,5,C.,8,5,D,3,解析：,设抛物线,y,x,2,上一点为,(,m,，,m,2,),，该点到直线,|4,m,3,m,2,8|,5,2,3,4,x,3,y,8,0,的距离为,4,3,2,正方形,ABCD,的边,AB,在直线,y,x,4,上，,C,、,D,在,y,2,x,上，求正方形,ABCD,的面积,假设点 P 是抛物线 y22px 上的任意一点，,那么点 P 的坐标借助抛物线方程可设为,(,其余三种形式的,抛物线方程也有相类似的设法,),减少变量的个数，从而简化,运,算,