欧柳曼,广东财经大学数学与统计学院,二、第二类曲线积分的概念与性质,三、第二类曲线积分的计算法,理解第二类曲线积分的定义,掌握第二类曲线积分的计算方法,教学内容,教学目的,一、问题的提出,14.2,第二类曲线积分与第二类曲面积分（,1,）,.,二、第二类曲线积分的概念与性质三、第二类曲线积分的计算法,一、问题的提出,。,1.,引例,:,变力沿曲线所作的功,.,设,L,为平面上一条可求长的连续曲线段，一质点在变力,的作用下沿,L,从点,A,移动到点,B,求移动过程中变力所作,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法,:,的功,W,.,一、问题的提出 。1.引例:,1)“,大化小”,.,2)“,常代变”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,是单位向量。,近似代替,其中,1)“大化小”.2)“常代变”把 L 分成 n 个小弧段,则有,上任取一点,在,3)“,近似和”,则有上任取一点在3)“近似和”,4)“,取极限”,(,其中,为,n,个小弧段的 最大长度,),4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2.,定义,.,设,L,为一条定向的可求长连续曲线，起点为,A,，,在,L,上每一点取单位切向量,终点为,B,。,使它与,L,的定向相一致。设向量函数,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限,都存在,在有向曲线弧,L,上的,第二类,则称此极限为函数,曲线积分,.,其中,L,称为,积分路径 或 积分曲线,.,称为,被积函数,记作,2.定义.设 L 为一条定向的可求长连续曲线，起点为 A，,(1),第二类曲线积分与方向有关，故题中都要指明,L,的方向。,故第二类曲线积分又可表示为：,（,3,）对空间,上的有向曲线,L,，第二类曲线积分就化为,其中,是,L,的切向量与,x,，,y,，,z,轴正向的夹角。,(2),由于,(1)第二类曲线积分与方向有关，故题中都要指明 L 的方向,若,为空间曲线弧,记,（,4,）若记,第二类曲线积分也可写作,类似地,若 为空间曲线弧,记（4）若记,第二类曲线积分也可写,3.,性质,(1),（路径可加性）若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),（方向性）用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对第二类曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,3.性质(1)（路径可加性）若 L 可分成 k 条有向光,二、第二类曲线积分的计算法,L,为参数方程,L,为一般方程,L,为空间光滑曲线,二、第二类曲线积分的计算法 L为参数方程 L,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,1,、,L,为参数方程,定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分,说明：,定理中的计算公式相当于“,换元法,”：,下限,起点参数值,上限,终点参数值,将,L,的参数方程代入被积函数,换元：,定限：,说明：定理中的计算公式相当于“换元法”：下限起点参数值上,2,、,L,为一般方程,则,2、L为一般方程则,L:,则,3,、,L,为空间光滑曲线,L:则3、L为空间光滑曲线,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,解法,2,取,y,为参数,则,从点,的一段,.,例1.计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则,例,2.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,例2.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2),1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对第二类曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧,对空间有向光滑弧,:,对空间有向光滑弧:,作业,P,323,1,(2),(3),作业 P323 1(2),(3),