单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/8/21,#,1.3,空间向量及其运算的坐标表示,第一章空间向量与,立体几何,1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一章空间向量与立体几,1,学习目标,学习目标,2,我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出,:“,数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点,是,排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的,腾飞,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法,.”,吴文俊先生明确地指出中学几何的,“,腾飞,”,是,“,数量化,”,也就是坐标系的引入,使得几何问题,“,代数化,”,为了使得空间几何,“,代数化,”,我们引,入,了坐标及其运算,.,情境导学,我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问,3,探究新知,1,.,画空间直角坐标系,Oxyz,时,一般使,xOy=,135,(,或,45,),yOz=,90,.,三个坐标平面把空间分成八个部分,.,2.,在空间直角坐标系中,让右手拇指指向,x,轴的正方向,食指指向,y,轴的正方向,如果中指指向,z,轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,.,本书建立的都是右手直角坐标系,.,探究新知1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=1,4,2.,点的坐标,2.点的坐标,5,3,.,向量的坐标,在空间直角坐标系,Oxyz,中,给定向量,a,作,.,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,(,x,y,z,),使,a,=x,i,+y,j,+z,k,.,有序实数组,(,x,y,z,),叫做,a,在空间直角坐标系,Oxyz,中的坐标,可简记作,a,=,(,x,y,z,),.,6,1.,若,a,=,3,i,+,2,j,-,k,且,i,j,k,为空间的一个单位正交基底,则,a,的坐标为,.,(3,2,-,1),答案,:,向量,的坐标恰好是终点,P,的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换,.,小试牛刀,思考：,在空间直角坐标系中,向量,的坐标与终点,P,的坐标有何关系,?,1.若a=3i+2j-k,且i,j,k为空间的一个单位正,7,二、空间向量运算的坐标表示,1,.,空间向量的坐标运算法则,设向量,a,=,(,a,1,a,2,a,3,),b,=,(,b,1,b,2,b,3,),R,那么,(,a,1,+b,1,a,2,+b,2,a,3,+b,3,),(,a,1,-b,1,a,2,-b,2,a,3,-b,3,),(,a,1,a,2,a,3,),a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,二、空间向量运算的坐,8,2,.,空间向量的坐标与其端点坐标的关系,:,设,A,(,x,1,y,1,z,1,),B,(,x,2,y,2,z,2,),则,=,(,x,2,-x,1,y,2,-y,1,z,2,-z,1,),.,即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,.,2.空间向量的坐标与其,9,3,.,空间向量平行与垂直条件的坐标表示,若向量,a,=,(,a,1,a,2,a,3,),b,=,(,b,1,b,2,b,3,),则,(1),当,b,0,时,a,b,a,=,b,(,R,);,(2),a,b,.,点睛：,当,b,的坐标中,b,1,b,2,b,3,都不等于,0,时,a,与,b,平行的条件还可以表示为,a,b,.,a,1,=,b,1,a,2,=,b,2,a,3,=,b,3,a,b,=,0,a,1,b,1,+a,2,b,2,+a,3,b,3,=,0,3.空间向量平行与,10,4,.,空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示,若向量,a,=,(,a,1,a,2,a,3,),b,=,(,b,1,b,2,b,3,),则,4.空间向量的模、夹,11,1.,已知空间向量,m,=,(1,-,3,5),n,=,(,-,2,2,-,4),则有,m,+,n,=,3,m,-,n,=,(2,m,)(,-,3,n,),=,.,(,-,1,-,1,1),(5,-,11,19),168,解析,:,m,+,n,=,(1,-,3,5),+,(,-,2,2,-,4),=,(,-,1,-,1,1),3,m,-,n,=,3(1,-,3,5),-,(,-,2,2,-,4),=,(5,-,11,19),(2,m,)(,-,3,n,),=,(2,-,6,10)(6,-,6,12),=,168,.,4,小试牛刀,2.,已知空间向量,a=(2,-1),b=(,8,-6),若,a,b,则,=,若,a,b,则,=,.,.,1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),12,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,13,典例解析,典例解析,14,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,15,用坐标表示空间向量的步骤如下,:,归纳总结,用坐标表示空间向量的步骤如下:归纳总结,16,跟踪训练,跟踪训练,17,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,18,例,2,已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).,思路分析,先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解,.,典例解析,例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,19,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,20,(,方法,1)(,p,+,q,)(,p,-,q,),=|,p,|,2,-|,q,|,2,=,82,-,66,=,16,.,(,方法,2),p,+,q,=,(,-,5,5,14),p,-,q,=,(3,-,5,4),所以,(,p,+,q,)(,p,-,q,),=-,15,-,25,+,56,=,16,.,(方法1)(p+q)(p-q)=|p|2-|q|2=82-,21,空间向量的坐标运算注意以下几点,:,(1),一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标,.,(2),空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键,.,(3),运用公式可以简化运算,:(,a,b,),2,=,a,2,2,a,b,+,b,2,;(,a,+,b,),(,a,-,b,),=,a,2,-,b,2,.,归纳总结,空间向量的坐标运算注意以下几点:,22,跟踪训练,跟踪训练,23,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,24,(2),若,k,a,+,b,与,k,a,-,2,b,互相垂直,求,k.,(2),把,k,a,+,b,与,k,a,-,2,b,用坐标表示出来,再根据数量积为,0,求解,.,(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.(2)把ka+,25,k,a,+,b,=,(,k-,1,k,2),k,a,-,2,b,=,(,k+,2,k,-,4),.,(,k,a,+,b,),(,k,a,-,2,b,),(,k,a,+,b,)(,k,a,-,2,b,),=,0,即,(,k-,1,k,2)(,k+,2,k,-,4),=,2,k,2,+k-,10,=,0,ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-,26,向量平行与垂直问题主要题型,(1),平行与垂直的判断,;,(2),利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用,.,解题时要注意,:,适当引入参数,(,比如向量,a,b,平行,可设,a,=,b,),建立关于参数的方程,;,最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的,.,归纳总结,向量平行与垂直问题主要题型归,27,3.,已知,a,=,(,+,1,1,2,),b,=,(6,2,m-,1,2),.,(1),若,a,b,分别求,与,m,的值,;,跟踪训练,3.已知a=(+1,1,2),b=(6,2m-1,2).,28,例,4,如图,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,CA=CB=,1,BCA=,90,棱,AA,1,=,2,M,N,分别是,AA,1,CB,1,的中点,.,(1),求,BM,BN,的长,.,(2),求,BMN,的面积,.,思路分析,建立空间直角坐标系,写出,B,M,N,等点的坐标,从而得出,的坐标,.,然后利用模的公式求得,BM,BN,的长度,.,对于,(2),可利用夹角公式求得,cos,MBN,再求出,sin,MBN,的值,然后套用面积公式计算,.,例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,29,解,:,以,C,为原点,以,CA,CB,CC,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,(,如图,),.,解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴,30,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示ppt课件,31,反思感悟,向量夹角与模的计算方法,利用坐标运算解,空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解,.,归纳总结,32,4.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别为,A,1,D,1,BB,1,的中点,则,cos,EAF=,EF=,.,跟踪训练,解析,:,以,A,为原点,AB,AD,AA,1,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立直角坐标系,(,图略,),设正方体棱长为,1,则,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D,33,一题多变,空间向量的平行与垂直,一题多变空间向量的平行与垂直,34,由题意,可设点,P,的坐标为,(,a,a,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),35,延伸探究,1,若本例中的,PQ,AE,改为,B,1,Q,EQ,其他条件不变,结果如何,?,延伸探究1若本例中的PQAE改为B1QEQ,其他条件不变,36,延伸探究,2,本例中若点,G,是,A,1,D,的中点,点,H,在平面,xOy,上,且,GH,BD,1,试判断点,H,的位置,.,延伸探究2本例中若点G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且,37,A.(2,1,-,3)B.(,-,1,2,-,3),C.(1,-,8,9)D.(,-,1,8,-,9),答案,:,D,当堂达标,A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3,38,2,.,下列向量中与向量,a,=,(0,1,0),平行的向量是,(,),A.,b,=,(1,0,0)B.,c,=,(0,-,1,0),C.,d,=,(,-,1,-,1,1)D.,e,=,(0,0,-,1),答案,:,B,解析,:,比较选项中各向量,观察哪个向量符合,a,=,(0,0),的形式,经过观察,只有,c,=-,a,.,2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()答,39,3,.,已知向量,a,=,(1,0,1),b,=,(2,0,-,2),若,(,k,a,+,b,)(,a,+k,b,),=,2,则,k,的值等于,(,),答案,:,D,3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(k,40,4,.,已知点,A,(1,-t,1,-t,t,),B,(2,t,t,),则,A,B,两点的距离的最小值为,(,),答案,:,C,解析,:,因为点,A,(1,-t,1,-t,t,),B,(2,t,t,),所以,|AB|,2,=,(1,+t,),2,+,(2,t-,1),2,+,(,t-t,),2,=,5,t,2,-,2,t+,2,4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,41,5,.,已知向量,a,=,(2,-,1,-,2),b,=,(1,1,-,4),.,(1),计算,2,a,-,3,b,和,|,2,a,-,3,b,|.,(2),求,.,5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).,42,解析答案,反思与感悟,解析答案反思与感悟,43,解,建立如图所示的空间直角坐标系,Dxyz,，,解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,44,高中数学人教A版13空间向量及其运算的坐标表示