集合间的基本关系,集合间的基本关系,知识点一,Venn,图,(1),定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线,的,代表,集合，这种图称为,Venn,图，这种表示集合的方法叫做图示法,.,(2),适用范围：元素个数较少的集合,.,(3),使用方法：,把,写,在封闭曲线的内部,.,元素,内部,知识点一Venn图元素内部,知识,点二子集的概念,文字语言,符号语言,图形语言,集合,A,中,元素,都是集合,B,中的元素,，,就说这两个集合,有,，,称集合,A,是集合,B,的子集,A,B,(,或,B,A,),包含,关系,任意一个,思考,符号,“”,与,“,”,有什么区别？,答,(1),“”,是表示元素与集合之间的关系，比如,1,N,，,1,N,.,(2),“,”,是表示集合与集合之间的关系，比如,N,R,，,1,2,3,3,2,1.,(3),“”,的左边是元素，右边是集合，而,“,”,的两边均为集合,.,知识点二子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中,知识点三集合相等,如,果集合,A,是集合,B,的子集,(,A,B,),，且集合,B,是集合,A,的子集,(,B,A,),，此时，集合,A,与集合,B,中的元素是一样的，因此，集合,A,与集合,B,相等，记作,A,B,.,思考,(1),集合,0,1,与集合,(0,1),相等吗？,答,不相等,.,前者是数集，有两个元素：,0,和,1,；后者是点集，只有一个元素：数对,(0,1).,(2),集合,x,R,|,1,x,2,与集合,y,R,|,1,y,2,相等吗？,答,相等,.,虽然两个集合的代表元素的符号,(,字母,),不同，但实质上它们均表示大于,1,且小于,2,的所有实数，所以这两个集合相等,.,知识点三集合相等,知识点四真子集的概念,定义,符号表示,图形表示,真子集,如果集合,A,B,，但存在,元素,，,称集合,A,是集合,B,的真子集,A,B,(,或,B,A,),x,B,，且,x,A,知识点四真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A,知识点五空集,(1),定义：不含任何元素的集合叫做空集,.,(2),用符号表示为：,.,(3),规定：空集是任何集合的子集,.,思考,0,，,与,之间有什么区别与联系？,答,0,是含有一个元素,0,的集合，,是不含任何元素的集合，因此有,0,，而,是含有一个元素,的集合，因此有,.,知识点六子集的有关性质,(1),任何一个集合是它本身,的,，即,.,(2),对于集合,A,，,B,，,C,，如果,A,B,，且,B,C,，,那么,.,A,C,子集,A,A,知识点五空集AC子集AA,题型一有限集合的子集确定问题,例,1,(1),写出集合,a,，,b,，,c,的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；,解,子集为：,，,a,，,b,，,c,，,a,，,b,，,b,，,c,，,a,，,c,，,a,，,b,，,c,.,真子集为：,，,a,，,b,，,c,，,a,，,b,，,a,，,c,，,b,，,c,.,(2),已知集合,A,满足,a,，,b,A,a,，,b,，,c,，,d,，求满足条件的集合,A,.,解,由题意可知，,A,中一定有,a,，,b,，对于,c,，,d,可能没有，也可能有,1,个，故满足,a,，,b,A,a,，,b,，,c,，,d,的,A,有：,a,，,b,，,a,，,b,，,c,，,a,，,b,，,d,.,题型一有限集合的子集确定问题,1.,求解有限集合的子集问题，关键有三点：,(1),确定所求集合；,(2),合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；,(3),注意两个特殊的集合，即空集和集合本身,.,2.,一般地，若集合,A,中有,n,个元素，则其子集有,2,n,个，真子集有,2,n,1,个，非空真子集有,2,n,2,个,.,反思与感悟,1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：反思与感悟,已知集合,M,满足,2,3,M,1,2,3,4,5,，求集合,M,及其个数,.,解,当,M,中含有两个元素时，,M,为,2,3,；,当,M,中含有三个元素时，,M,为,2,3,1,，,2,3,4,，,2,3,5,；,当,M,中含有四个元素时，,M,为,2,3,1,4,，,2,3,1,5,，,2,3,4,5,；,当,M,中含有五个元素时，,M,为,2,3,1,4,5,；,所以满足条件的集合,M,为,2,3,，,2,3,1,，,2,3,4,，,2,3,5,，,2,3,1,4,，,2,3,1,5,，,2,3,4,5,，,2,3,1,4,5,，集合,M,的个数为,8.,已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集,题型二集合间关系的判定,例,2,指出下列各对集合之间的关系：,(1),A,1,1,，,B,(,1,，,1),，,(,1,1),，,(1,，,1),，,(1,1),；,解,集合,A,的代表元素是数，集合,B,的代表元素是有序实数对，故,A,与,B,之间无包含关系,.,(2),A,x,|,x,是等边三角形,，,B,x,|,x,是等腰三角形,；,解,等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故,A,B,.,题型二集合间关系的判定,(3),A,x,|,1,x,4,，,B,x,|,x,5,0,；,解,集合,B,x,|,x,5,，用数轴表示集合,A,，,B,，如图所示，由图可知,A,B,.,(,4),M,x,|,x,2,n,1,，,n,N,*,，,N,x,|,x,2,n,1,，,n,N,*,.,解,由列举法知,M,1,3,5,7,，,，,N,3,5,7,9,，,，故,N,M,.,(3)Ax|1x4，Bx|x50；,A.,A,B,B.,B,A,C.,A,B,D.,A,B,A.AB B.BA,由于,4,k,2,1,2,2,k,2,1,，,4,k,2,1,2(2,k,2,1),1,，,且,2,k,2,表示所有的偶数，,2,k,2,1,表示所有的奇数，,4,k,2,1,与,2,k,1(,k,Z,),一样，都表示所有奇数,.,x,2,A,.,B,A,.,故,A,B,.,故选,C,.,答案,C,由于4k2122k21，4k212(2k21),反思与感悟,判断集合与集合关系的常用方法：,(1),一一列举观察,.(2),集合元素特征法：首先确定,“,集合的元素是什么,”,，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系,.,一般地，设,A,x,|,p,(,x,),，,B,x,|,q,(,x,).,若,p,(,x,),推出,q,(,x,),，则,A,B,；,若,q,(,x,),推出,p,(,x,),，则,B,A,；,若,p,(,x,),，,q,(,x,),互相推出，则,A,B,；,若,p,(,x,),推不出,q,(,x,),，,q,(,x,),也推不出,p,(,x,),，则集合,A,，,B,无包含关系,.(3),数形结合法：利用数轴或,Venn,图判断,.,若,A,B,和,A,B,同时成立，则,A,B,更能准确表达集合,A,，,B,之间的关系,.,反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.,集合,M,x,|,x,3,k,2,，,k,Z,，,P,y,|,y,3,n,1,，,n,Z,，,S,z,|,z,6,m,1,，,m,Z,，则,M,，,P,，,S,之间的关系为,(,),A.,S,P,M,B.,S,P,M,C.,S,P,M,D.,S,P,M,解析,对于,M,：,x,3,k,2,3(,k,1),1,，,k,Z,，,对于,P,：,y,3,n,1,，,n,Z,，,M,P,.,而,z,6,m,1,3(2,m,),1,，,m,Z,，,S,P,M,，故选,C.,C,集合Mx|x3k2，kZ，Py|y3n1,题型三集合相等,例,4,已知,M,2,，,a,，,b,，,N,2,a,，,2,，,b,2,，若,M,N,，求,a,与,b,的值,.,又,a,0,，,b,0,时，,M,2,0,0,与集合的互异性矛盾，故舍去,.,题型三集合相等又a0，b0时，M2,0,0与集合,反思与感悟,由,A,B,(,或,A,B,),求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性,.,反思与感悟由AB(或AB)求字母的值时，要注意检验所求出,A.1,B,.,1,C.2,D,.,2,C,故,b,a,2.,A.1 B.1C故ba2.,题型四由集合间的关系求参数范围问题,例,5,已知集合,A,x,|,3,x,4,，,B,x,|2,m,1,x,m,1,，且,B,A,，求实数,m,的取值范围,.,解,B,A,，,(1),当,B,时，,m,1,2,m,1,，解得,m,2.,解得,1,m,2,，综上得,m,|,m,1.,题型四由集合间的关系求参数范围问题解得1m2，综上得,反思与感悟,1.,求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；,2.,利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；,3.,注意空集的特殊性，遇到,“,B,A,”,时，若,B,为含字母参数的集合，一定要分,“,B,”,和,“,B,”,两种情形讨论,.,反思与感悟1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然,已知集合,A,x,|1,x,2,，集合,B,x,|1,x,a,，,a,1.,(1),若,A,B,，求,a,的取值范围；,解,若,A,B,，由图可知,a,2,.,(2),若,B,A,，求,a,的取值范围,.,解,若,B,A,，由图可知,1,a,2.,已知集合Ax|1x2，集合Bx|1xa，a,忽略空集的特殊性致误,易错点,例,6,设,M,x,|,x,2,2,x,3,0,，,N,x,|,ax,1,0,，若,N,M,，求所有满足条件的,a,的取值集合,.,忽略空集的特殊性致误易错点例6设Mx|x22x3,错解,由,N,M,，,M,x,|,x,2,2,x,3,0,1,3,，得,N,1,或,3.,正解,由,N,M,，,M,x,|,x,2,2,x,3,0,1,3,，得,N,或,N,1,或,N,3.,当,N,时，,ax,1,0,无解，即,a,0.,错解由NM，Mx|x22x301,3,易错警示,错误原因,纠错心得,错解忽略了,N,这种情况,.,空集是任何集合的子集,.,解这类问题时，一定要注意,“,空集优先,”,的原则,.,易错警示错误原因纠错心得错解忽略了N这种情况.空集是任何,设集合,A,x,|,x,2,4,x,0,，,B,x,|,x,2,2(,a,1),x,a,2,1,0,，,a,R,，若,B,A,，求实数,a,的取值范围,.,设集合Ax|x24x0，Bx|x22(a,解,因为,A,x,|,x,2,4,x,0,0,，,4,，,B,A,，,所以,B,可能为,，,0,，,4,，,0,，,4.,当,B,时，方程,x,2,2(,a,1),x,a,2,1,0,无解,.,所以,4(,a,1),2,4(,a,2,1)0,，,所以,a,1.,当,B,0,时，方程,x,2,2(,a,1),x,a,2,1,0,有两个相等的实数根,0,，,解得,a,1.,解因为Ax|x24x00，4，BA，解,当,B,4,时,，,方程,x,2,2(,a,1),x,a,2,1,0,有两个相等的实数根,4,，,该方程组无解,.,当,B,0,，,4,时，方程,x,2,2(,a,1),x,a,2,1,0,有两个不相等的实数根,0,和,4,，,解得,a,1.,综上可得,a,1,或,a,1.,当B4时，方程x22(a1)xa210有,