,了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题,2.11 导数的应用,1函数在某区间上单调的充分条件,一,般地，设函数,y,f,(,x,)在某个区间内有导数，如果在这个区间内,y,0，那么,函数,y,f,(,x,)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内,y,0，那么函数,y,f,(,x,)为这个区间内的减函数,2极大值,一般,地，设函数,f,(,x,)在点,x,0,附近有定义，如果对,x,0,附近的所有的点，都有,f,(,x,),f,(,x,0,)，就说,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)的一个极大值，记作,y,极大值,f,(,x,0,)，,x,0,是极大值点,3极小值,一般地，设函数,f,(,x,),在,x,0,附近有定义，如果对,x,0,附近的所有的点，都有,f,(,x,),f,(,x,0,),就说,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极小值，记作,y,极小值,f,(,x,0,)，,x,0,是极小值点,4求可导函数,f,(,x,)的极值的步骤,(1),确定函数的定义区间，求导数,f,(,x,),(2),求方程,f,(,x,)0,的根,(3),用函数的导数为,0,的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成,表格检查,f,(,x,)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么,f,(,x,)在这个根处取,得极大值；如果左负右正，那么,f,(,x,)在这个根处取得极小值；如果左右不,改变符号，那么,f,(,x,)在这个根处无极值,5,利用导数求函数的最值步骤,(1)求,f,(,x,)在(,a,，,b,)内的极值；,(2)将,f,(,x,)的各极值与,f,(,a,)、,f,(,b,)比较得出函数,f,(,x,)在,a,，,b,上的最值,1对于R上可导的任意函数,f,(,x,)，若满足(,x,1),f,(,x,),0，则必有(),A,f,(0),f,(2)2,f,(1),解析：,(,x,1),f,(,x,),0，或,函数,y,f,(,x,)在(，1上单调递减，,f,(0),f,(1)；在1，)上单调递增，,f,(2),f,(1)，,f,(0),f,(2)2,f,(1),函数,y,f,(,x,)可为常数函数，,f,(0),f,(2)2,f,(1)故选C项,答案：,C,2函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,2在区间1,1上的最大值是(),A2 B0 C2 D4,解析：,f,(,x,)3,x,2,6,x,，令,f,(,x,)0，得,x,0，,x,2(舍去),比较,f,(1)，,f,(0)，,f,(1)的大小知,f,(,x,),max,f,(0)2，选C项,答案：,C,3函数,f,(,x,)的定义域为开区间(,a,，,b,)，导函数,f,(,x,)在(,a,，,b,)内的图象如图所示，,则函数,f,(,x,)在开区间(,a,，,b,)内有极小值点(),A1个 B2个,C3个 D4个,解析：,f,(,x,)0单调递增，,f,(,x,),0.,由题中图象可知只有1个极小值点,答案：,A,4,(2010开封高三月考),函,数,f(x),=,x,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的大致,图象如右图，则 等于(),解析,：由题图可知,f,(1),f,(0),f,(2)0，,解得：,b,1，,c,2，,d,0，则,f,(,x,)3,x,2,2,x,2，,则,答案,：C,此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现应注意函数,y,f,(,x,)在区间(,a,，,b,)上可导，则,f,(,x,)0是函数,y,f,(,x,)在(,a,，,b,)上递增的充分条件，并非充要条件,【例1】,设,a,为实数，函数,f,(,x,),x,3,ax,2,(,a,2,1),x,在(,，0)和(1，,)都是增,函数，求,a,的取值范围,解答：,f,(,x,)3,x,2,2,ax,(,a,2,1)，其判别式,4,a,2,12,a,2,12128,a,2,.,(1)若,128,a,2,0，即,a,.,当,x,(,，)或,x,(，,)时，,f,(,x,)0，,f,(,x,)在(,，,)为增函数,所以,a,.,(2)若,128,a,2,0，,f,(,x,)在(，)为增函数,(3)若,128,a,2,0，即 ，令,f,(,x,)0，,解得,当,x,(,，,x,1,)或,x,(,x,2,，,)时，,f,(,x,)0，,f,(,x,)为增函数；,当,x,(,x,1,，,x,2,)时，,f,(,x,)0，,b,0.,(1),设,A,(,s,，,f,(,s,)，,B,(,t,，,f,(,t,)，,求证线段,AB,中点在曲线,y,f,(,x,),上,；,(2),若,a,b,0时，求,u,的最大值,解答：(1),f,(,x,),ax,3,cx,d,，,f,(,x,)3,ax,2,c,.,根据已知条件 即 解得,(2),由,f,(,x,),x,3,x,，,f,(,x,)3,x,2,1，,P,点坐标,(,t,，,t,3,t,)，,联立整理得,(,x,t,),2,(,x,2,t,)0，,则,Q,点坐标为,(2,t,，8,t,3,2,t,)，,要注意区分函数最大(小)值与函数极值的区别、联系函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，是局部性概念，而函数的最大(小)值是比较整个定义区间的函数值得出的，是对整个定义域而言的在闭区间,a,，,b,上连续函数,f,(,x,)的最大(小)值，是开区间(,a,，,b,)内所有极大(小)值与,f,(,a,)、,f,(,b,)中的最大(小)值,【例3】,请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为,1 m,的正六棱柱，上部的形状,是侧棱长为,3 m,的正六棱锥(如图所示)试问当帐篷的顶点,O,到底面中心,O,1,的距离为多少时，帐篷的体积最大？,解答：,由题图，设,OO,1,为,x,m，,则,1,x,4.,由题设可得正六棱锥底面边长为(单位,：m)：,于是底面正六边形的面积为(单位,：m,2,)：,帐篷的体积为(单位,：m,3,)：,求导数，得,令,V,(,x,)0，,解得,x,2(,不合题意，舍去,)，,x,2.,当,1,x,0，,V,(,x,),为增函数；当,2,x,4,时,，,V,(,x,)0，,V,(,x,),为减函数,所以当,x,2,时,，,V,(,x,),最大当,OO,1,为,2 m,时，帐篷的体积最大,.,1在利用导数确定函数单调性时要注意结论,“,若,y,f,(,x,)在(,a,，,b,)内可导，且,f,(,x,)0，则,f,(,x,)在区间(,a,，,b,)上是增函数,”,的使用方法此结论并非充要,条件如,f,(,x,),x,3,.在(,，,)上是递增的，但,f,(0)0；因此已知函数的,单调区间求函数关系式中字母范围时，要对,f,(,x,)0处的点进行检验,2若函数,f,(,x,)在,a,，,b,上连续，在(,a,，,b,)内可导，求,f,(,x,)在,a,，,b,上的最大值与最,小值的步骤如下：,(1)求,f,(,x,)在(,a,，,b,)内的极值；,(2)将,f,(,x,)的各极值与,f,(,a,)，,f,(,b,)比较其中最大的是最大值，最小的是最小值；,(3)特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数的最小值.,【方法规律】,(本题满分12分),已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,，且,f,(1)0.,(1),试用含,a,的代数式表示,b,；,(2),求,f,(,x,),的单调区间,；,(3),令,a,1，,设函数,f,(,x,),在,x,1,，,x,2,(,x,1,x,2,),处取得极值，记点,M,(,x,1,，,f,(,x,1,)，,N,(,x,2,，,f,(,x,2,)，,证明：线段,MN,与曲线,f,(,x,),存在异于,M,、,N,的公共点.,解答：(1,)由已知,f,(,x,),x,2,2,ax,b,，,又,f,(1)0，,则,12,a,b,0，,即,b,2,a,1.,(2),f,(,x,),x,2,2,ax,2,a,1(,x,2,a,1)(,x,1),若,(2,a,1)1,即,a,1，,f,(,x,)(,x,1),2,0，,则,f,(,x,),的递增区间,为(,，,)；,若,(2,a,1)1，,则,f,(,x,),的递增区间为,(，12,a,)，(1，)，,递减区间为,(12,a,，1)；,若,(2,a,1)1，,即,a,0，,g,(2)0知,g,(,x,)在(0,2)上存在零点，即线段,MN,与曲线,f,(,x,)存在异于,M,、,N,的公共点,1.,导数的应用是高考考查的重点和热点，更多的与曲线的切线，函数的性质、,不等式、数列等内容进行综合考查，以解答题的形式出现，充分体现数形结,合，分类讨论等重要的数学思想方法，体现数学应用的重要性,2本题主要考查通过求导、解决函数的单调性和函数零点存在等问题,3近年来对以三次函数为背景的问题的考查愈演愈烈对三次函数图象和性质,有必要进行系统的挖掘和研究.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,