单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,2.1 数学根底,2.2 矩阵分式描述,2.3 有理分式阵的互质分解,2.4 史密斯-麦克米伦形,第,2,章 传递函数矩阵的矩阵分式描述,1 单模矩阵,方多项式矩阵Q(s)，假设detQ(s)是独立于s,的一个非零常数，那么称其为单模矩阵。,性质：,(1)Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵；,(2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异；,(3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；,(4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵。,2.1 数学根底,2 初等变换：,(1)行列交换；,(2)用一非零实或复数乘以某行或列；,(3)用某行(列)乘以一个多项式加到另一行(列)上。,注意：,1初等行列变换初变换的矩阵Q(s)左乘右乘初等矩阵；,2初等矩阵都是单模矩阵；,3对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和或右乘单模矩阵；,4单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。,3,公因子和最大公因子,公因子的定义,相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,假设,那么R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.,相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,假设,那么Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.,gcd(最大公因子)的定义,gcrd:,(1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子;,(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s),那么称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.,gcld:,(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子;,(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s),那么称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.,Gcd 的性质,以gcrd为例,(1)gcrd不唯一.,假设R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵,那么W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.,Why:,(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相,同,即,假设R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd,R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd,那么R1(s)非奇异R2(s)非奇异,R1(s)单模R2(s)单模,(3),(4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s),(5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.,4,互质性,右互质和左互质,D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.,假设gcrd为单模阵,那么称D(s)和N(s)右互质.,A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.,假设gcld为单模阵,那么称A(s)和B(s)左互质.,右互质判据,判据1:贝佐特等式判据,D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵 使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I,判据,2,：秩判据,判据,3,：非右互质判据,Gcrd,构造关系式的一个性质,5,列次数和行次数,多项式的次数：,多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。,多项式矩阵中，有列次数列向量的次数和行次数行向量的次数之分。,如,多项式矩阵的列次表示式,上例中的,M(s),可表示为,一般地，,多项式矩阵的行次表示式,6,既约性,此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵,M(s),列既约：,M(s),行既约：,注：,列既约和行既约之间无必然的联系；,M(s),为对角阵时，列既约等价于行既约。,7,S,mith,形,特征：,2.2,矩阵分式描述,一.G(s)的表示形式,MFD的几点说明：,1 MFD的次数,MFD的次数定义为其“分母矩阵的行列式的次数。,右,MFD,左,MFD,2 MFD描述的不唯一性,一个的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数也,不唯一。,假设定义,那么,且,当W(s)为单模阵时(其行列式为一常数),3 G(s),的所有,MFD,中，次数最小的,MFD,称为最,小阶,MFD,，它也不唯一。,4,左,MFD,与右,MFD,存在对偶性，因此对右,MFD,得,出的属性也适用于左,MFD,。,二 矩阵分式描述的真性和严真性,1.,真性和严真性判据,D(s),为列既约,G(s),为严格真,G(s),为真,注：,D(s),为列既约是该判据一个不可缺少的条件。,D(s)为非列既约,引入单模阵W(s)，使,那么：G(s)为严格真,G(s),为真,三,.,非真有理分式阵的分解,1,存在性和唯一性,非真，那么一定唯一地存在,两个,qp,的多项式矩阵,Q(s),和,R(s),，使成立,其中：严真，假设D(s)列既约，那么,2,分解算法,对,G(s,),中所有非真元做多项式除法，得到,求出非真,由 组成,Q(s),，由 组成,求解结果 ，其中,计算,为非真 的严真局部。,2.3,有理分式阵的互质分解,一,.,不可简约矩阵分式描述,1,定义,右互质,MFD:N(s,),和,D(s,),是右互质的。,左互质,MFD:A(s,),和,B(s,),是左互质的。,不可简约,MFD:G(s,),的右互质和左互质,MFD,统称,为,G(s,),的不可简约,MFD.,2 不可简约MFD根本属性,性质1,不可简约MFD不唯一。所有左或右不可简约,MFD之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其,为广义唯一的。,性质,2:,不可简约,MFD,和可简约,MFD,关系,所有的可简约MFD,如 都可通过不可简,约的MFD如 得到。即总有非奇异多项式矩,阵T(s)未必是单模矩阵,使,说明：可简约，其最大公因子,R(s),不是单模矩,阵，但非奇异。提出并约去,R(s),，可得不可简约的,MFD,。这样,得到的不可简约的,MFD,很可能不同于给定 ，但其只,差一个单模矩阵,U(s),，由此单模矩阵和,R(s),即可构造出,T(s)=U(s)R(s).,对,G(s),的所有的不可简约,MFD,，,性质,3:,在 中,假设N(s),D(s)是右互质的,那么它是最小阶的.反之亦成立.,假设N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶MFD.,性质,4:,二 求不可简约矩阵分式描述,算法,1,：由一个可简约的,MFD,求不可简约的,MFD,依据：,算法,2,：由一个可简约的,MFD,求不可简约的,MFD,依据：,算法,3,：由一个可简约的,右,MFD,求不可简约的,左,MFD,2.4,史密斯,-,麦克米伦形,一,.,史密斯,-,麦克米伦形定义,将多项式矩阵的,smith,形推广应用到有理分式,矩阵,G(s),，得到,Smith-McMillan,形,左上角为,r*r,对角阵，其余为,0,阵，且 互质。,二,.,史密斯,-,麦克米伦形构造定理,三史密斯-麦克米伦形根本特性,1 Smith-Mcmillan形对给定的G(s)唯一，但单模变,换阵U(s),V(s)不唯一。,2 假设G(s)为方阵，且非奇异，那么,3 M(s)可表为,