单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,前置模式：,i-1,坐标系,i,。,仅涉及,i,杆件的参数，,1,、,杆长,:,沿,xi,轴从,zi-1,到,zi,的距离。,2,、扭角：绕,xi,从,zi-1,转到,zi,的角度。,3,、平移量：沿,zi-1,轴从,xi-1,轴量至,xi,轴的距离。,4,、转角：绕,zi-1,轴从,xi-1,轴到,xi,的转角。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02前置模,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,第,3,章 机器人运动学,3.1,机器人的位姿描述,3.2,齐次变换及运算,3.3,机器人运动学方程,3.4,机器人微分运动,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02第3章,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3.2,小节,运 动 学 方 程 的 逆解,3.3,机器人运动学方程,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,机器人运动学方程的逆解，也称机器人的逆运动学问题，或间接位置求解。,逆运动学问题：对某个机器人，当给出机器人手部在基座标系中所处的位置和姿态时（即,M,0h,中各元素给定），求出其对应的关节变量值,q,i,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,逆运动学问题的可解性：,下面以六自由度机器人,PUMA,为例，研究其可解性。,其中：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,其中：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,可见，我们有,12,个方程及,6,个未知数。,上述,12,个方程关系如何？,我们先看看转动部分，它是,3,X,3,子矩阵，共有,9,个元素；我们知道，转动矩阵的每列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交；因此，,9,个元素中仅三个是独立的，或则说，,12,个方程中仅有,6,个是独立，对应,6,个未知数。,因此，一般情况下，单从数学的角度看，方程组应该是有解的。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,上述方程组是由一些非线性的、超越、难解的方程组成。为了降低求解难度，机器人的杆件参数应仅可能地取为,0,，如常见的,PUMA,机器人那样。对于任何非线性方程组，必须关心其解的存在性、多解性和求解方法。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,解得存在性,：,解是否存在与机器人的工作空间密切相关，工作空间又取决于机器人的结构、杆件参数，或手部（工具）的位姿。,一般情况下，如果手部坐标系的位置和姿态都位于工作空间内，则至少存在一个解；相反，若手部坐标系的位置和姿态都位于工作空间外，则无解。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,2,、运动学方程的逆解,多解性问题：,解得数量不仅与机器人的关节数有关，还与它的杆件参数、关节活动范围等相关。一般说，连杆的非零参数越多，解的数量就越多，即到达某个位置的路经就越多。多个解的存在使我们面临选择。,如何选择？如：路径最短、最近原则。,多解的应用：,躲避障碍物等。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、运,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,运动学逆解的求解方法,不像线性方程,，不存在求解非线性方程组的通用算法。,非线性方程组的算法应能求出它的所有解；因此，某些数值递推方法不适用。,逆解的形式：,1),闭式解,(Close-form solution):,用解析函数式表示解。,特点：求解速度快。,存在,闭式解是机器人设计的目标，,仅仅在一些特殊情况下，机器人存在解析的闭式解，如：相邻的多个关节轴交与一点，杆件扭角等于,0,或,90,度等。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,2),数值解,(Numerical solution):,特点：递推求解。,求解方法分类：,代数法、几何法以及数值法，前两种用于求闭式解，后一种用于数值解。,下面我们结合几个实例，介绍机器人闭式解析解的求解方法。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,例,1,：,已知四轴平面关节,SCARA,机器,人如图所示，试计算：,（,1,）机器人的运动学方程；,（,2,）当关节变量取,q,i,=30,，,-60,，,120,，,90,T,时，机器人手部的位置和姿态；,（,3,）机器人运动学逆解的数学,表达式。,800,400,300,200,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解：,1,）运动学方程,a,、建立坐标系（前置模式）,机座坐标系,0,杆件坐标系,i,手部坐标系,h,x,0,z,0,x,1,z,1,x,4,h,z,4,h,800,400,300,200,x,2,z,2,x,3,z,3,1,0,2,3,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,b,、确定参数,i,d,i,i,l,i,i,q,i,1,800,1,400,0,1,2,0,2,300,0,2,3,d,3,0,0,0,d,3,4,-200,4,0,0,4,800,400,300,200,x,0,z,0,x,1,z,1,x,2,z,2,x,3,z,3,x,4,h,z,4,h,0,1,2,3,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,c,、相邻杆件位姿矩阵,800,400,300,200,x,0,z,0,x,1,z,1,x,2,z,2,x,3,z,3,x,4,h,z,4,h,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,c,、相邻杆件位姿矩阵,800,400,300,200,x,0,z,0,x,1,z,1,x,2,z,2,x,3,z,3,x,4,h,z,4,h,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,c,、相邻杆件位姿矩阵,800,400,300,200,x,0,z,0,x,1,z,1,x,2,z,2,x,3,z,3,x,4,h,z,4,h,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,c,、相邻杆件位姿矩阵,800,400,300,200,x,0,z,0,x,1,z,1,x,2,z,2,x,3,z,3,x,4,h,z,4,h,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,1,）运动学方程,d,、建立方程,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,2,）已知,q,i,=30,，,-60,，,120,，,90,T,，则：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,已知运动学方程，用通式表示为：,已知,关系,分析：上述矩阵方程有,4,个未知量，由于第一行第一列元素与第二行第二列元素相等，第一行第二列元素与第二行第一列元素大小相等、符号相反；因此，仅,4,个元素相互独立，与变量数相同。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,联立方程：,其中，,n,x,、,n,y,、,p,x,、,p,y,和,p,z,是已知的手的位姿，,1,、,2,、,4,及,d,3,是待求的未知量。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,由上面（,a,）、（,b,）两式可得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,由上面（,c,）、（,d,）两式：,两边平方可得：,将两式相加得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,这时 已经求出。,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,为了求,1,，由上面（,c,）、（,d,）两式展开可得：,化简，得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02这时,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,由上面两式可得：,可得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,已知,1,，,2,后，由,可得：,最后由（,e),式可得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,解,：,（,3,）逆解数学表达式,逆解数学表达式为：,可见，四轴平面关节,SCARA,机器存在封闭式逆解表达式。,山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.3,机器人运动学方程,结合实例介绍另一种求逆解的代数法。,例,2,：已知,PUMA,机器人，如图所示，试用递推逆变换法计算其运动学逆解（后置模式）。,与教材