Copyright 2004-2009,版权所有 盗版必究,2.2 命题与证明（2）,议一议,下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由,.,（,1,）每一个月都有,31,天,.,（,2,）如果,a,是有理数，那么,a,是整数,.,（,3,）同位角相等,.,（,4,）同角的补角相等,.,上面四个命题中，命题（,4,）是正确的，命题（,1,），（,2,），（,3,）,都是错误的,.,我们把,正确的命题,称为,真命题,，把,错误的命题,称为,假命题,.,从命题的,条件,出发，通过,讲道理,（推理）,得出,结论成立,这样的,推理过程,叫做,证明,。,要判断一个命题是,假命题,，只用举出一个,反例,它,符合,命题的,条件,但,不满足,命题的,结论,，从而判断这个命题为假命题,这种方法叫,举反例,.,反例,必须是具备命题的,条件,却不具备命题的,结论,判断下列命题是真命题还是假命题。如果是假命题，举出一个反例。,1,、邻补角是互补的角。,真命题,2,、如果两个角相等，那么它们是对顶角。,假命题,3,、互补的角是邻补角。,假命题,4,、如果一个数能被,2,整除，那么这个数也能被,4,整除。,假命题,5,、如果两个角是内错角，那么它们相等。,假命题,6,、在平面内，经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。,真命题,7,、两个锐角的和是锐角。,假命题,判断下列命题的真假,.,1.,有一个角是,45,的直角三角形是等腰直角三角形,.,2.,素数不可能是偶数,.,3.,黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人,.,4.,有两个外角,(,不同顶点,),是钝角的三角形是锐角三角形,.,5.,若,y(1-y)=0,，则,y=0.,真命题,假命题,假命题,假命题,假命题,练一练,6.,正数不小于它的倒数,.,7.,如果两个角不是对顶角，那么它们不相等,.,8.,若,x,3,，则,x,2,9.,9.,异号两数相加和为负数,.,10.,若,c,a+b,则,c,a,c,b.,假命题,假命题,假命题,假命题,假命题,说一说,判断下列命题为真命题的依据是什么？,（,1,）如果,a,是整数，那么,a,是有理数；,（,2,）如果,ABC,是等边三角形，那么,ABC,是等腰三角形,.,（,1,）是根据有理数的定义，（,2,）是根据等腰三角形的定义作出的判断,.,在判断一个命题为真命题时常用到定义，但光有定义还不够,.,定义、定理、公理、推论,都可以判断其他命题,真假的依据；,用推理得到的那些用,黑体字表述的图形性,质都可以做为性质；,公理不需要再证明。,公理,：经过人们长期,实践后公认的真命题,；,定理,：经过证明为真的命题,.,推论,：由定理直接得出的真命题,.,当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题,.,如,:“,如果,1,和,2,是对顶角，那么,1=,2”,是真命题，,但它的逆命题“如果,1=,2,，那么,1,和,2,是对顶角,”,就是假命题,.,如果一个定理的,逆命题,是,真命题,，那么它是原定理,的逆定理，这两个定理叫,互逆定理,.,有的定理有逆定理，有的定理没有逆定理,.,如：,内错角相等，两直线平行,与,两直线平行，内错角相等,是互逆的定理,.,P55.,练习,讨论：,我们如何判断一个命题的真假？,要判断一个命题是,真命题,需要,推理论证,；要判断一个命题是,假命题,只要举出一个,反例,即可。,例如：相等的两个角是对顶角。,1,2,反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子。,观察,B,C,A,1,D,A,C,B,1,D,A,C,B,1,D,外角定义：,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角,.,三个特征,:,1.,1,的,顶点在三角形的一个顶点上,;,2.,1,的,一条边是三角形的一条边,;,3.,1,的,另一条边是三角形的某条边的延长线,画图并思考：,画一个,ABC,，你能画出它的所有外角来吗？请动手,试一试,同时,想一想,ABC,的外角共有几个呢？,归纳：,每一个三角形都有,个,外角,每一个顶点相对应的外角都有,个,每个外角与相邻的内角是,邻补角,3,2,1,A,B,C,5,6,4,例,1,已知：如图，1、2、3是ABC的三个外角,求证：1+2+3=360,结论：三角形的外角和等于,360,通常把一个三角形每一个顶点处的,一个,外角的和叫做,三角形的外角和,。,动脑筋,证明命题“三角形的外角和为,360 ”,是真命题,.,三角形的外角和,对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做,三角形的外角和,。,结论,：,三角形的外角和等于,360,证明的一般步骤,:,(1),根据题意,画,出,图,形,;,(2),结合图形,根据条件和结论用,符号语言,写出,“,已知,”,、,“,求证,”,;,(3),通过分析,运用数学符号和数学语言条理清晰地,写出证明过程,;,例,1.,已知,:,如图，在,ABC,中，,B=,C,点,D,在线段,BA,的,延长线上，射线,AE,平分,DAC.,求证：,AE BC.,B,C,E,A,D,例,2.,已知：,A,，,B,，,C,是,ABC,的内角,.,求证：,A,，,B,，,C,中至少有一个角大于或等于,60,像这样，当证明一个命题为真命题有困难时，可先假设命题,不成立，然后利用条件或结论通过推理导出矛盾，从而得出,假设不成立，这种证明方法叫,方证法,.,反证法是间接证明的方法，基本思路归结为,“,否定结论，导出矛盾，肯定结论,”,.,在证明命题时，有时,先假设命题不成立,，从这样的假设出发,经过推理得出和,已知条件,矛盾，或者与,定义、公理、定理,等,矛盾，,从而得出,假设命题不成立是错误的,，即可证明命题是正确的，这种证明方法叫做,反证法,。,反证法,反证法的一般步骤,:,从假设出发,假设命题不成立,引出矛盾,假设不成立,求证的命题正确,得出结论,假设,归谬,结论,A,C,B,证明命题,:,三角形中至多有一个角是钝角,.,已知：,A,，,B,，,C,是,ABC,的内角,.,求证：,A,，,B,，,C,中至,多,有一个,是钝角,.,证明：假设,ABC,中有两,个角,是钝角，那么 ,A,，,B,，,C,之和必大于,180,，这与,“,三角形三个内角和等于,180,”,相矛盾,.,因此,ABC,中至,多,有一个角,是钝角,.,