单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Linear Algebra,第二章 向量与线性方程组,2.1,向量及其运算,2.2,向量的线性关系,2.3,向量组与矩阵的秩,2.4,齐次线性方程组,2.5,非齐次线性方程组,消元法解线性方程组的三种同解变形，用矩阵的初等行,变换表示了用消元法解线性方程组的过程。,n,个未知量,n,个方程的线性方程组，引进行列式的概念，若系数行列式的值不等于,0,，那么可由克拉默法则表示出它的唯一解。同时，这类方程也可以表示为矩阵方程，用求逆矩阵的方法也能够表示出它的唯一解。,当方程组的系数行列式等于,0,，或者方程的个数少于未知量的个数时，,求逆矩阵,和,克拉默法则,的这两种方法都失效了。,此时，是否有解？如果有，有几个？不止一个时，解与解之,间是什么联系？,2.1,向量及其运算,引例,一个方程对应一组数,矩阵的一行对应一组数,线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。,定义,2.1,由,n,个数,组成的,有序数组,称为一个,n,维行向量,，记作,，其中,称为向量,的第,i,个,分量,（或,坐标,）。,如果将有序数组写成一列的形式，则称向量,为列向量。,实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。,几个概念,1、,同维向量,：分量个数相等的向量称为同维向量。,2、,相等向量,：如果向量 与 是同维向量，而且对应,的分量相等，则称向量 与 相等。,3、,零向量,：分量都是0的向量称为零向量，记作,O。,4、,负向量,：称向量 为向量,的负向量，记作 。,5,、,向量组,：如果,n,个向量 是同维向量，则称为,向量组,向量的线性运算,1、向量的加减法,，称向量,设,，则称向量,为向量 与向量 的,和向,量,，记作,为向量 与向量 的,差向量,，记作 。,2、数乘向量,向量的加、减、数乘运算称为向量的,线性运算,。,设向量,则称向量,为数 与向量 的数乘向量，记作,向量线性运算的运算律,交换律,结合律,分配律,例1,解,练习,：已知 ，求,解,（,1,）,则方程组有,向量形式,线性方程组的向量表达式,若记,线性方程组,即为系数矩阵的第 列,2.2,向量的线性关系,解,设,则,所以,定义,2.4,设有同维向量 ，如果存在,一组数 ，使得 成立，,则称向量 可由向量组,线性表示,，或称向量,是向量组 的,线性组合,。,例2,设,判断向量 能否由向量组 线性表示？如果可以，求出,表达式。,小结：,可由向量组,线性表示 线性方程组,有解,定义,2.5,显然：含有零向量的向量组是线性相关的。,因为,设有向量组 ，如果存在一组,不全为零的数,，使得 成立，则称,向量组,线性相关,，否则，称向量组,线性无关,。即当且仅当,全为零时,，才成立，则称向量组,线性无关,。,两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。,证明,例3,证明下列向量组线性无关。,设,则,所以,所以向量组 线性无关。,称向量组 为,n,维向量空间,的,单位坐标向量组,。,任何一个,n,维向量 都可由向量组,线性表示，,例4,讨论向量组,的线性相关性,解,设,则,利用矩阵的初等变换，可求得,注：有无穷多组解,可见，向量组,线性相关,齐次线性方程组,有非零解,所以向量组 线性相关。,练习,判断向量组的线性相关性,解,设,则有,因为,是方程组的一组非零解,所以,线性相关,证明,例5,已知向量组 线性无关，证明：向量组,线性无关。,设,则,因为 线性无关,所以有,解得,所以向量组 线性无关。,例6,设,线性无关，又,，试证明,线性相关,证明,设,则有,因为,线性无关,所以有,由于,所以,不全为零,所以,线性相关,事实上，可取,证明,因为向量组,线性相关,所以存在一组不全为零的数,，使得,则,否则，若,则由,线性无关，,可推得,于是向量组,线性无关,这与已知矛盾，所以,定理,2.1,若向量组 线性无关，而向量组,线性相关，则向量 可由向量组,线性表示，而且表示方法惟一。,于是,假设另有表达式,则可得,由于,线性无关，,所以,且表示方法唯一,所以 可由向量组 线性表示，,所以 可由向量组 线性表示。,定理,2.2,向量组,线性相关,的充分必要条件,是该向量组中,至少有一个,向量可由其余的向量组线性,表示。,证明,因为向量组,线性相关,所以存在不全为零的数,使得,不妨设,于是有,反过来，若有,可由,线性表示,则有,所以,线性相关,例7,设,试问,为何值时，,可由,线性表示，且表示,方法唯一？,解,设,则有,（*）,因为,可由,线性表示，且表示方法唯一,所以，方程组（*）只有唯一的一组解,所以有,解得,小结,：,齐次线性方程组,有非零解,齐次线性方程组,只有零解,线性相关,向量组,（1）,向量组,线性无关,（2）,(3)向量 可由向量组,线性表示,线性方程组,有解,向量组的线性相关性的几个性质定理,1,、单个非零向量是线性无关的。,2,、,两个向量线性相关,的充分必要条件是,对应分量成比例,。,3,、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变,向量组线性无关。即,部分相关，则整体相关；整体无关，,则部分无关。,4,、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向,量组线性相关。即,低维无关，则高维无关；高维相关，则,低维相关,。,作业,P71,2.1(2)(4),