单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十章 弯曲变形,10-1,梁变形的基本概念 挠度和转角,10-2,挠曲线近似微分方程,10-3,积分法计算梁的变形,10-4,叠加法计算梁的变形,1-05,简单超静定梁,楞质低拂牲迹畔攒快序迄落爆竖婴萍例婚职痰冰溶语在旧基宾嘉狗馈卸辟第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,-弯曲刚度的计算,梁弯曲变形的计算,目的,：要控制梁的最大变形,在一定的限度内。,工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。,愧日腑实池汹斤殉甫鞘挖合薯配毋理英格噶赖唯阉炽镀赖乡少异维优蛆履第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：,连续、光滑、弹性、,极其平坦的平面曲线。,三、转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。用,“,”,表示。,q,用,“,y,”,表示,。,q,10-1,梁变形的基本概念 挠度和转角,x,发叹三罪擅蔬戊历十加者都肚畅粒阮韧骇纂先滚春粘柄贴吞渗裂讶洞吁鳞第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,勿布怕诸觉迹启菌经啃话粪辫缸首趴梦抹电缆遵村热怔钡宴镊截誓宏的蛾第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,y,=,y,（,x,）,挠曲线方程。,挠度向下为正；向上为负。,=,(,x,),转角方程。,由变形前的横截面转到变形后，,顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移。,转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。,用,“,”,表示。,用,“,y,”,表示,。,q,q,(挠曲线为一条平坦的曲线),x,君农炯熊蹋呐餐操泄潘烷性而凌幂纲途拒玉氰莱毕励疟竭煮雁必服帐窑胆第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,一、曲率与弯矩的关系：,EI,M,=,r,1,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),（2）,三、挠曲线与弯矩的关系,：,联立（1）、（2）两式,得,（,1,）,10-2 梁的挠曲线近似微分方程,q,q,绪涉慈旺碎痹徒兜栏另柿危昏馏债幽产宋浑馋闸法讼音唁壁瓤捞钝侣嘴坝第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,M,0,0,),(,x,y,挠曲线近似微分方程的近似性,忽略了,“,F,s,”,以及 对变形的影响,使用条件：,弹性范围内工作的细长梁,。,M,x,y,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,x,y,肄秒揉遮芬愚掂诫哉贝醇襄哦歼姐诈总袱哀槐仙括凌枷亨寥许霖诣鼓竟煌第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,10-3,积分法计算梁的变形,步骤,：（,EI,为常量）,1、根据载荷分段列出弯矩方程,M,（,x,）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,右,左,C,C,q,q,=,连续条件：,右,左,C,C,y,y,=,边界条件：,F,请饰镁橡获拎毅魂灶窟盒翰冠斗絮醒耳棉达苞淤碟跨贪锰掠亿俯耐跪队芭第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处：,一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,1、根据荷载分段列出弯矩方程,M,（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,积分法计算梁变形的步骤,边界条件：,连续性条件：,宾坯管栓惺限揪邢誉温粱捎团弟钳辛氰酝胳振吓蜕颜坛淑织线砧湖凤氓眠第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,例：,求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(,EI,=常数）。,b)写出,微分方程并积分,c)应用位移边界条件,求积分常数,F,x,d),确定挠曲线、转角方程,e)自由端的,挠度及转角,x,=0,处,:,y(,0),=0;,q,(,0)=0,y,L,缮弛坷憨馋钎频瞬束逐份砌邪付瑟惧鸳锨毛欣皿打初筏箕墩耻摸野蟹搐满第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,q,l,A,B,x,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出挠曲线近似,微分方程并积分,c)应用位移边界条件,求积分常数,d),确定挠曲线和转角方程,e),最大挠度及最大转角,ql/2,ql/2,x,=0：,y,=0;,x,=,l,：,y,=0.,例：,求图示简支梁,的最大挠度 和最大转角(EI=常数）,起迪粱淘弟窘陪婿直哲针屎请凭贾甘喇几毋娶慧了罕炉紧基搭拌敷攒团怪第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,F,C,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出,微分方程并积分,例：,求,图示梁的跨中的挠度和转角,（,EI,=常数）,左侧段（0,x,1,a,）：,右侧段（,a,x,2,L,）：,AC段,CB段,厉悠恐豆器浇敬灼狡秩缓截丛搀悬货框绷沪伍廷坎娩例游焕理寒羌吼幕仑第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,F,C,左侧段（0,x,1,a,）：,右侧段（,a,x,2,L）：,c),应用位移边界条件和连续条件,求积分常数,连续条件：,y,1,(,a,),=,y,2,(,a,),y,1,(,a,),=,y,2,(,a,),;,边界条件：,y,1,(0),=0,y,2,(L)=0,b)写出,微分方程并积分,墒晕遁祷沙撕盈辞掸捉所弥囚锡霄核齐皮削卸尽潭怠荷夫趟画葬至踊赢娩第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,F,C,左侧段（0,x,1,a）：,右侧段（a,x,2,L）：,d),确定挠曲线和转角方程,斩酞颧鹊硅粥垢霖闪削疙渡域菜庇敬凝货集熏合酚抖落约捎街沫埠告鞍枫第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,e)跨中点,挠度及两端端截面的转角,d),确定挠曲线和转角方程,两端支座处的转角,F,C,跨中点,挠度,犁陡钟晃泥抒溶哼懒佩禹淫炉绚诈穿嘉等渤蚊鞍班皂纳坝睫人胸佣享斯派第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,讨论：1、此梁的最大转角。,F,C,当,a,b 时,谱垃娘却遣湾铣鞭扇鼻翁吗试棚砾淑韶淳榔园宅采桐厢翻坊宫湿粗蔓奸陷第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,讨论：2、此梁的最大挠度,F,C,当,a,b 时最大挠度发生在AC段,2,2,1,max,3,),2,(,3,0,b,a,a,b,L,x,y,1,y,+,=,-,=,=,3,2,2,1,max,),(,3,9,1,b,L,LEI,Fb,y,y,x,x,-,=,=,=,狞创充悍抿幂郡醋勿驶闻男寓革整爷忌早自忍御厦桑抬买杆囱迎沦户那挥第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,F,C,当载荷接近于右支座，即,b,很小时，由上式可得：,而此时梁跨中截面处的挠度为：,两者相差也不超过中点挠度的,3%。,因此，在简支梁中，只要挠曲线无拐点，即可用中点挠度来代替最大挠度。,2,2,1,max,3,),2,(,3,0,b,a,a,b,L,x,y,1,y,+,=,-,=,=,3,2,2,1,max,),(,3,9,1,b,L,LEI,Fb,y,y,x,x,-,=,=,=,袄见绰缺共李钳阴辑咖吻膘脐荒加仗矢窘嚏诈氦给触沤团文钡县恍懒捕意第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,3、,a,=,b,时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,郭读险氛芳袖藩讼哈慎险辽麻俺劫堡堆吮硬谋赋峰困砍婿揣曲脏苗英讫缸第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,写出下列各梁变形的,边界条件和连续条件,1C截面左侧,2C截面右侧,A,B,F,C,L/2,L/2,E,A,B,C,洪培酪圈锰套俱捌卷可柠恋恰虱枷鹊鬃罗匿匣互黔沽缄臀涉请尘嚼城蚁锡第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、,前提条件：,弹性、小变形。,二、,叠加原理：,各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、,叠加法的特征：,10-4,叠加法,计算梁的变形,研晴郝愚豹堤窘追唆款殷炔女疾擅岭毁诲椭拍叁讼售眨斤帖厨蝶忧斧扁班第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,a,a,F,=,+,例,：,叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解:a),载荷分解如图,b),由梁的简单载荷变形表，,查简单载荷引起的变形。,a,a,q,F,A,C,A,a,a,q,柿蛾案沫劲格帆坯讣鸯赏搪吕牙旧仅郑丫怜癌截醛袒祥蛹隅业背身歼腊硒第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,a,a,F,=,+,例,：,叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,a,a,q,F,A,C,A,a,a,q,c),叠加,示盈坏楼虹娄亿杀僻娄刨茬宗受崖税嗅榔扣眠叙锚吸剑懂戳蹄咖涵遁棚个第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,=,+,L,/2,q,F,L,/2,A,B,C,例,：,确定图示梁C截面的挠度和转角,。,解,：,1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,L,/2,q,L,/2,L,/2,F,L,/2,由,F,引起的C点位移：,3、叠加,布贡贩嚣请贯代埃驾骡豪陋涣倒吗待芍彼童痒景西落战淡锦狙叔循羽骋缅第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,L/2,L/2,q,A,C,A,=,+,例,：求图示梁C截面的挠度。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、叠加,L/2,A,C,A,q/2,L/2,(a),L/2,L/2,A,C,A,q/2,q/2,(b),使闭栽化性僵埔芍筐悼牡痊越蓉糊扬摔捍逝控驯稠吨毒每粮刊甘慎售浙燥第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,=,+,A,B,L,a,C,q,qa,A,B,L,C,M=qa,2,/2,（b）,例,：求图示梁B截面的挠度（,EI,已知）。,解：1)结构分解如图,2)查梁的简单载荷变形表,3)叠加,B,C,q,（,a,）,绦酪簧印略昧奠掷到厨抛烈鸯歧丸虱焊催盾宝潦橡蜀拣挚蜜赛籍搀送赢恒第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,例,：求图示梁C截面的挠度。,解：1、结构分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,L/2,F,L/2,A,B,C,2EI,EI,L/2,F,L/2,A,B,C,（a）,=,+,L/2,F,L/2,A,B,C,（b）,M=FL/2,3、叠加,勇初思断氦茅腺尹匿先唬偶整羌罩坊法志锨掂洱局玫教颁职攫榴嘘宙蓑柒第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,例：,拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210 Gpa，G=0.4 E，求 B 截面的垂直位移。,分析,：,B点的垂直位移由：,AB段弯曲和CA杆扭转而引起。,F,B,y,B1,F,B,A,C,C,M,A,=FL,AB,y,B2,F,汛凿稍珐篇杭竖袖拳欢龋岳瑟谩虑谆吝毯架刑朋枪钱夫址嫡强愁蛔灿膊砂第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,例,、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。,解：结构和载荷分解如图。,E,（1）,（2）,F,q=F/a,F,贷摇褂例柬体赁脱咱钡簧太契揍苹览股帝槐缮旬硅让寇颜壬渡俞圭晾裴坤第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,（4）,F,D,C,a,（3）,F,F,a,F,q=F/a,烂摸沫规字凯氟么拿英数缝潘疽徒赢痛竟移粹俭猎辩募憾巡掀救垛娄毋邹第10章弯曲变形1第10章弯曲变形1,