单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.3,用公式法求解一元二次方程,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,2,课时 利用一元二次方程解决面积问题,2.3 用公式法求解一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课,学习目标,1.,掌握面积法建立一元二次方程的数学模型,.,（难点）,2.,能,运用,一元二次方程解决与面积有关的,实际问题,.,（重点）,学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）,导入新课,问题,某小区规划在一个长,30,m,、宽,20,m,的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与,AB,平行，另外一条与,AD,平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为,78,m,2,，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为,x,m,，则由题意列的方程为,_.,C,B,D,A,(30,-,2,x,)(20,-,x,),=678,问题引入,导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形,利用一元二次方程解决面积问题,一,问题：,在一块长,16m,宽,12m,的矩形荒地上,要建造上个,花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,.,16m,12m,想一想，你会怎么设计这片荒地？,看一看：,下面几位同学的设计方法是否合理？,讲授新课,利用一元二次方程解决面积问题一问题：在一块长16m,宽12m,解：设小路的宽为,x,m,根据题意得：,即,x,2,-,14,x,+24=0,.,解方程得,x,1,=2 ,x,2,=12,.,将,x,=12,代入方程中不符合题意舍去,.,答：小路的宽为,2m,.,小明设计：,如右,图所示,.,其中花园四周小路的宽都相等,.,通过解方程,得到小路的宽为,2m,或,12m,.,16m,12m,问题：,他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？,x,x,解：设小路的宽为 xm,根据题意得：小明设计：16m12m,解：设扇形半径为,x,m,根据题意得：,即,x,2,=,96,.,解方程得,x,1,=,x,2,=(,舍去,),答：扇形半径约为,5.5m,.,小亮设计：,如右图所示,.,其中花园每个角上的扇形都相同,.,问题：,你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？,16m,12m,解：设扇形半径为 xm,根据题意得：小亮设计：问题：你能帮,小颖设计：,如右图所示,.,其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等,.,问题：,你能帮小颖计算一下图中,x,吗？,16m,12m,x,m,x,m,解：设小路的宽为,x,m,根据题意得：,即,x,2,-,28,x,+96=0,.,解方程得,x,1,=4 ,x,2,=24,将,x,=24,代入方程中不符合题意舍去,答：小路的宽为,4m,.,小颖设计：问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？16m12,例,1,：,要设计一本书的封面,封面长,27,宽,21cm,正中央,是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何,设计四周边衬的宽度,？,(,精确到,0.1cm,),27cm,21cm,典例精析,例1：要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一,分析,:,这本书的长宽之比,：,正中央的矩形长宽之比,：,，上下边衬与左右边衬之比,：,.,9 7,9 7,27cm,21cm,解：设中央长方形的长和宽分别为,9,a,和,7,a,由此得到上下边衬宽度之比为：,9 7,分析:这本书的长宽之比 ：正中央的矩形长宽之比,27cm,21cm,解,:,设上下边衬的,9,x,cm,，左右边衬宽为,7,x,cm,依题意得,解方程得,故上下边衬的宽度为,:,故左右边衬的宽度为,:,方程的哪个根合乎实际意义,?,为什么,?,试一试：,如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？,27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xc,解,:,设正中央的矩形两边别为,9,x,cm,，,7,x,cm.,依题意得,27cm,21cm,解得,故上下边衬的宽度为,:,故左右边衬的宽度为,:,解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27c,例,2,：,如图所示，在,ABC,中，,C=,90,，,AC=,6cm,，,BC=,8cm,.,点,P,沿,AC,边从点,A,向终点,C,以,1cm/s,的速度移动；同时点,Q,沿,CB,边从点,C,向终点,B,以,2,cm/s,的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动,.,问点,P,，,Q,出发几秒后可使,PCQ,的面积为,9 cm,？,根据题意得,AP=x,cm,PC=,(6,-x,)cm,CQ=,2,x,cm,解：若设出发,x,s,后可使,PCQ,的面积为,9cm,整理，得,解得,x,1,=,x,2,=3,答：点,P,，,Q,出发,3s,后可使,PCQ,的面积为,9cm,.,例2：如图所示，在ABC中，C=90，AC=6cm，,主要集中在几何图形的,面积,问题,这类问题的,面积公式,是等量关系,.,如果图形不规则应,割,或,补,成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程,;,方法点拨,主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是,20,32,x,x,解：设道路的宽为,x,米,例,3,：,如图，,在一块宽为,20m,长为,32m,的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为,540,求道路的宽为多少？,典例精析,还有其他解法吗？,2032xx解：设道路的宽为x米例3：如图，在一块宽为20m,20,32,x,x,解：设道路的宽为,x,米,20,-x,32-,x,(32-,x,)(20-,x,)=540,整理，得,x,2,-52,x,+100=0,解得,x,1,=2,x,2,=50,当,x,=50,时，,32-,x,=-18,不合题意，舍去,.,取,x,=2,答：道路的宽为,2,米,.,方法二：,2032xx解：设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-,在宽为,20m,长为,32m,的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为,540,求,这种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为,x,米,(32-,x,)(20-,x,)=540,可列方程为,变式一,在宽为20m,长为32m的,20,32,x,x,x,20-,x,在宽为,20m,长为,32m,的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为,540m,2,求这种种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为,x,米,(32-2,x,)(20-,x,)=540,可列方程为,变式二,32-2,x,2032xxx20-x 在宽为,20,32,x,x,x,x,20,32,2,x,2x,32-2,x,20-2,x,在宽为,20m,长为,32m,的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为,540,m,2,求这种种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为,x,米,(32-2,x,)(20-2,x,)=540,可列方程为,变式三,2032xxxx20322x2x32-2x20-2x,在宽为,20m,长为,32m,的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，,如果横、纵小路的宽度比为,3,：,2,，,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？,变式四,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部,小路所占面积是矩形面积的四分之一,剩余面积是矩形面积的四分之三,解,:,设横、竖小路的宽度分别为,3,x,、,2,x,，,于是可列方程,(30-4,x,)(20-6,x,)=2030,20,30,3,x,2,x,30-4,x,20-6,x,4,3,3,x,2,x,6,x,4,x,30-4,x,20-6,x,小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分,我们利用“,图形经过移动，它的面积大小不会改变,”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,.,方法点拨,我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质,视频：平移求面积动态展示,视频：平移求面积动态展示,解：设,AB,长是,x,m,.,(100-4,x,),x,=400,x,2,-25,x,+100=0,x,1,=5,，,x,2,=20,x,=20,100-4,x,=2025,x,=5(,舍去,),答：羊圈的边长,AB,和,BC,的长个是,20m,20m,.,例,4,：,如图：要利用一面墙（墙长为,25,米）建羊圈，用,100,米的围栏围成总面积为,400,平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长,AB,和,BC,的长个是多少米？,D,C,B,A,25,米,解：设AB长是x m.例4：如图：要利用一面墙（墙长为25米,变式：,如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为,12m,的住房墙，另外三边用,25m,长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个,1m,的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为,80,平方米？,住房墙,1m,解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为,x,m,，,由题意得,x,(25-2,x,+1)=80,化简，得,x,2,-13,x,+40=0,解得,x,1,=5,x,2,=8,当,x,=5,时，,26-2,x,=1612,(,舍去）,当,x,=8,时，,26-2,x,=1012,故所围矩形猪舍的长为,10m,宽为,8m,.,则平行于住房墙的一边长,(25-2,x,+1),m.,变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m,1,.,在一幅长,80cm,，宽,50cm,的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是,5400cm,2,，设金色纸边的宽为,x,cm,，那么,x,满足的方程是（）,A,x,2,+130,x,-1400=0 B,x,2,+65,x,-350=0,C,x,2,-130,x,-1400=0 D,x,2,-65,x,-350=0,80cm,x,x,x,x,50cm,B,当堂练习,1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金,2.,一块长方形铁板，长是宽的,2,倍，如果在,4,个角上截去边长为,5cm,的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是,3000 cm,3,，求铁板的长和宽,解：设铁板的宽为,x,cm,则有长为,2,x,cm,5(2,x,-10)(,x,-10)=3000,x,2,-15,x,-250=0,解得,x,1,=25,x,2,=-10(,舍去）,所以,2,x,=50,答：铁板的长,50cm,宽为,25cm.,2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5,3.,如图，要设计一个宽,20cm,长为,30cm,的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为,23,，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？,解：设横向彩条的宽度,2,x,cm,竖彩条的宽度,3,x,cm,(20-6,x,)(30-4,x,)=400,6,x,2,-65,x,+50=0,3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中,课堂小结,几何图形与一元二次方程问题,几何图形,常见几何图形面积是等量关系,.,类 型,课本封面问题,彩条,/,小路宽度问题,常采用图形平移能聚零为整方便列方程,课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是,课后作业,课后作业,