单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,学案3 不等式选讲,考点1,考点2,考点3,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考 向 预 测,考点4,考点5,考点6,考 纲 解 读,基本算,法语句,(1)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:,|a+b|a|+|b|(a,bR).,|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).,(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:,|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.,(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.,返回目录,1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合.,2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的交、并、补运算.,3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法.,考 向 预 测,返回目录,1.,绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特别要注意等号成立的条件.,|a+b|=|a|+|b|,;,|a-b|=|a|+|b|,.,ab0,ab0,返回目录,2.,|ax+b|c,;,|ax+b|c,;,解|x-c|+|x-b|a采用方法,.,3.证明不等式的常用方法,(1)比较法:分,比较法和,两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数类的用作商比较法.,(2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是,“”,.常用到以下不等:a,2,0,(ab),2,0,a,2,+b,2,2ab(a,bR),(a,bR,+,).,ax+b-c或ax+bc,-cax+bc,零点划分法,作差,作商比较法,由因导果,返回目录,(3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.这是一种,“”,的方法.,(4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好,“”,，使其恰到好处.,(5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性.,(6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的，考虑用反证法.,执果索因,度,返回目录,考点1|ax+b|c(c)型不等式的解法,解不等式:,(1)|2x-5|8;,(2)|2-3x|7.,【分析】,利用绝对值的意义,将绝对符号去掉.,返回目录,【解析】,(1)由原不等式得,-82x-58.,-x .,原不等式的解集为x|-x .,(2)由原不等式得,3x-27或3x-23或x3或x-.,返回目录,含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值.在变形过程中要特别注意保证同解,同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰;区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括在内.,返回目录,解不等式:3|x-2|9.,解法一,:原不等式等价于,|x-2|3,|x-2|9.,x-23或x-2-3,x5或x-1,-9x-29,-7x11.,原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,即,返回目录,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,11/15/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/15,2024/11/15,15 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,解法二,:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.,x-20,x-20,3x-29,32-x9.,不等式组（1）的解集为x|5x11.,不等式组(2)的解集为x|-7x-1.,原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,(1),(2),返回目录,解法三,：不等式3|x-2|9的几何意义是表示在数轴上到2的距离大于或等于3且小于9的点的集合.如图所示.原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,返回目录,考点2|x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法,解不等式:|x-1|+|x+2|5.,【分析】,这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为不含绝对值符号的不等式,要对未知数x进行分类讨论,即用“零点划分法”将实数分成x-2,-2x1和x1三个部分进行讨论.,【解析】,解法一:用“零点划分法”将实数分类：,令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2.,(1)当x-3.,-3x-2.,返回目录,(2)当-2x1时,原不等式化为:-x+1+x+25,即35恒成立.,-2x1也是原不等式的解集.,(3)当x1时,原不等式化为:x-1+x+25,即x2.,1x2.,综合(1)(2)(3)可知:原不等式的解集为:x|-3x2.,返回目录,解法二,:不等式|x-1|+|x+2|5表示数轴上与点A和点两点距离之和小于5的点的集合,而A,B间距离为3,因此,线段AB上每一点到A,B的距离之和等于3.如图12-3-1所示.要找到与A,B距离之和为5的点,只需由点B向左移1个单位(此时距离之和增加2个单位),即移到点B,1,或由点A向右移1个单位,移到点A,1,.可以看出,数轴上点B,1,向右和点A,1,向左之间的点到A,B距离之和小于5.,原不等式的解集为x|-3x2.,返回目录,解法三,:分别作函数y,1,=|x-1|+|x+2|,-2x-1(x-2),3(-2x1),2x+1(x1)和y,2,=5的图象,如图所示,不难看出,要使y,1,y,2,只需,-3x2.,原不等式的解集为x|-3x2.,=,返回目录,解这类含两个绝对值符号,且绝对值符号里是一次式的不等式,一般解法有三种,分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”.,返回目录,设不等式|x+1|+|x-2|x+1|+|x-2|无解,即k|x+1|+|x-2|恒,成立,可知k3.即所求k的范围是(3,+).,返回目录,考点3 不等式的证明比较法,已知a，b，m，nR,+,.求证:a,m+n,+b,m+n,a,m,b,n,+a,n,b,m,.,【证明】,a,m+n,+b,m+n,-a,m,b,n,-a,n,b,m,=a,m,(a,n,-b,n,)+b,m,(b,n,-a,n,)=(a,m,-b,m,)(a,n,-b,n,),y=x,n,y=x,m,在(0,+)上是增函数，,当ab时，a,m,b,m,a,n,b,n,;当ab时，a,m,b,m,a,n,b,n,a,m,b,m,.,返回目录,求证:x,2,+53x.,证明,:(x,2,+5)-3x=x,2,-3x+5=x-+0,x,2,+53x.,返回目录,考点4 不等式的证明综合法、分析法,若a,b,c均为正数，求证：.,【分析】,证明时可用分析法，也可用综合法.,【证明】,证法一:欲证,只要证,只要证,只要证(a+b+c).,返回目录,(a+b+c),=(b+c)+(a+c)+(a+b),=,故原不等式成立.,返回目录,证法二,：,=,=(a+b+c)-3,=(b+c)+(a+c)+(a+b)-3,-3=,.,返回目录,(1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于找到解题途径.,(2)本题证法二 是综合法,运用分析法易于找到思路,但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径,用综合法书写证明过程.,返回目录,2010年高考辽宁卷,已知a,b,c均为正数,证明:,a,2,+b,2,+c,2,+（）,2,6 ,并确定a,b,c为何值,时，等号成立.,【证明】,证法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得,a,2,+b,2,+c,2,3(abc),3(abc),所以 9(abc).,故a,2,+b,2,+c,2,+3(abc)+9(abc).,返回目录,又3(abc)+9(abc)2 =6 ,所以原不等式成立.,当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.,当且仅当3(abc)=9(abc)时,式等号成立.,故当且仅当a=b=c=3 时,原不等式等号成立.,返回目录,证法二:,因为a,b,c均为正数,由基本不等式得,a,2,+b,2,2ab,b,2,+c,2,2bc,c,2,+a,2,2ac.,所以a,2,+b,2,+c,2,ab+bc+ac.,同理 ,故,所以原不等式成立.,当且仅当a=b=c时,式和式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab),2,=(bc),2,=(ac),2,=3时，式等号成立.,故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立.,返回目录,考点5 不等式的证明放缩法,【证明】,2().,令k=1,2,3,n，则有,2(-0),2(-1),2(-),2(-).,以上各式相加得,1+2 .,证明：不等式1+c,求证:.,证明,:a+bc,a+b-c0.由真分数的性质，可得,返回目录,考点6 不等式的证明反证法,已知函数f(x)=a,x,+(a1).,(1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数;,(2)证明:方程f(x)=0没有负根.,【分析】,(1)利用单调性的定义;(2)用反证法.,返回目录,【证明】,(1)证法一:任取x,1,x,2,(-1,+),不妨设x,1,0,1且 0,-=(-1)0.,又x,1,+10,x,2,+10,于是f(x,2,)-f(x,1,)=-+0.,故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.,返回目录,证法二,:f(x)=a,x,+1-(a1).,求导得f(x)=a,x,lna+.,a1,当x-1时,a,x,lna0,0,f(x)0在(-1,+)上恒成立,f(x)在(-1,+)上为增函数.,(2)设存在x,0,0(x,0,-1)满足f(x,0,)=0,若-1x,0,0,则,f(x,0,)0,f(x,0,)1与f(x,0,)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.,返回目录,(1)用反证法证明命题“若p则q”时，可能会,出现以下三种情况：,导出非p为真,即与原命题的条件矛盾;,导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾；,导出一个恒假命题.,(2)适宜用反证法证明的数学命题:,结论本身是以否定形式出现的一类命题;,关于唯一性、存在性的命题；,结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；,结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.,返回目录,(3)使用反证法证明问题时,准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设词”列表如下：,原结论词,反设词,原结论词,反设词,至少有一个,一个也没有,对所有x成立,存在某个x不成立,至多有一个,至少有两个,对任意x不成立,存在某个x成立,至少有n个,至多有n-1个,p或 q,p且 q,至多有n个,至少有n+1个,p且 q,p或 q,返回目录,若a,b,c,x,y,z均为实数,且a=x,2,-2y+,b=y,2,-2z+,c=z,2,-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.,证明,:假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0.a+b+c0.,而a+b+c=(x,2,-2y+)+(y,2,-2z+)+(z,2,-2x+),=(x,2,-2x)+(y,2,-2y)+(z,2,-2z)+,=(x-1),2,+