单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单三步,肥城一中高二数学组,二项式定理,肥城一中高二数学组二项式定理,1,1.在,n,=1,2,3时，写出并研究(,a,+,b,),n,的展开式.,(,a,+,b,),1,=,a,+,b=,C,1,0,a+,C,1,1,b,2.那么,n,=4时呢？,研究问题,(a+b),2,=a,2,+2ab+b,2,C,2,0,a,2,+,C,2,1,ab+,C,2,2,b,2,=,C,3,0,a,3,+,C,3,1,a,2,b+,C,3,2,ab,2,+,C,3,3,b,3,1.在n=1,2,3时，写出并研究(a,2,a,4,a,3,b a,2,b,2,ab,3,b,4,都,不,取,b,取,一,个,b,取,两,个,b,取,三,个,b,取,四,个,b,项,系数,C,4,0,C,4,1,C,4,2,C,4,3,C,4,4,(,a,+,b,),4,=(,a,+,b,)(,a,+,b,)(,a,+,b,)(,a,+,b,),【问题2】,(,a,+,b,),4,展开,有哪些项？各项的系数是什么？,结果：,实验猜想,a4 a3b a2b2,3,发现规律：,对于（a+b）,n,=,的展开式中a,n-r,b,r,的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 .那么，我们能不能写出(a+b),n,的展开式？,将,(,a,+,b,),n,展开,的结果,又,是,怎,样,呢？,归纳提高,引出定理，总结特征,发现规律：对于（a+b）n=的展开式中an-rbr的系数是在,4,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式,右边的多项式叫做(a+b),n,的,，,其中 （k=0,1,2,n）叫做,，,叫做二项展开式的,通项,，用,T,k+1,表示，该项是指展开式的第,项，展开式共有_个项.,二项式定理:,一般地，对于n N*，有：,展开式,二项式系数,k+1,n+1,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式,5,1.系数规律：,2.指数规律：,各项的次数均为,n,；,其中每一项中,a,的次数由,n,降到,0,b,次数由,0,升到,n,.,3.项数规律：,二项和的,n,次幂的展开式共有,n,+1个项.,4.展开式中的每一项都来自于,n,个括号的各个括号.,注.,二项式定理(公式)的特点,5.注意区别,二项式系数,与,项的系数,的概念,项的系数,为：,二项式系数与数字系数的积,即 字母的系数.,二项式系数,为,1.系数规律：2.指数规律：各项的次数均为n；3.项数规律,6,特别地:,2、令,a,=1，,b,=,x,1、把,b,用,-,b,代替,(,a,-,b,),n,=C,n,a,n,-,C,n,a,n,-1,b,+(,-,1),k,C,n,a,n,-,k,b,k,+(,-,1),n,C,n,b,n,0,1,k,n,3、,二项展开式定理:,x=1时,特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替 (a-b,7,解:,第三项的二项式系数为,第六项的系数为,解:第三项的二项式系数为 第六项的系数为,8,解:,第四项系数为280,解:第四项系数为280,9,(2),：由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？,例3,(1)：试判断在 的展开式中有,无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.,(2)：由,10,解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第7项，,常数项,常数项即,项.,例3,(1)：试判断在 的展开式中有,无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.,解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：由题意可知，故存在常,11,解：的展开式的通项公式为：,点评：,求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.,有理项即,整数次幂,项,(2),：由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？,解：的展开式的通项,12,练习,1、求 的展开式常数项。,解:,练习1、求 的展开式常,13,练习2,的展开式中,的系数等于_,解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系,数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,练习2的展开式中,的系数等于_解:仔,14,二项式定理的逆用,例4 化简,解(1):将原式变形,二项式定理的逆用例4 化简解(1):将原式变形,15,例4 计算并求值,解:(2)原式,逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用,例4 计算并求值解:(2)原式逆向应用公式和变形应用公式是,16,1、二项式定理及结构特征,2、二项式系数与项系数不同,作用：求任一项；求某一项系数,关键：明确k,3、通项公式T,k+1,=,4、定理特例,小结：,1、二项式定理及结构特征 2、二项式系数与项系数不同3、通,17,余数是1，,所以是,星期四,探究：今天是星期三，那么 天后的这一天是星期几？,变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？,余数是1，所以是星期四探究：今天是星期三，那么,18,变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？,所以余数是1，,思考：,若将 除以9，则得到的余数还是1吗？,8,变式:若将 除以9，则得到的余数是多少？所以,19,1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,20,复习提问,1.二项式定理的内容,(,a,+,b,),n,=C,n,a,n,+C,n,a,n,-1,b,+C,n,a,n,-,k,b,k,+C,n,b,n,0,1,k,n,右边多项式叫(a+b),n,的二项展开式；,2.二项式系数:,3.二项展开式的通项,T,k+1,=,针对(a+b),n,的,标准形式而言,(k=0,1,2,n),4.在定理中，令a=1，b=x，则,复习提问 1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cn,21,一般地，对于n N*有,二项定理:,新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,一般地，对于n N*有二项定理:新课引入二项展开式中,22,计算(,a+b,),n,展开式的二项式系数并填入下表,n,(,a+b,),n,展开式的二项式系数,1,2,3,4,5,6,1,6,15,20,15,6,1,1,5,10,10,5,1,1,4,6,4,1,1,3,3,1,1,2,1,1,1,对称性,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b),23,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,议一议,1）请看系数有没有明显的规律？,2）,上下两行有什么关系吗？,3）,根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?,(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5,24,每行两端都是1,C,n,0,=,C,n,n,=1,从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,C,n+1,m,=C,n,m,+C,n,m-1,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,每行两端都是1 Cn0=Cnn=1(a+b)1(a,25,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次,26,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,27,2、若（a+b）,n,的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，,知识对接测查1,1、在(ab),展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是(),A 第项 B 第项 C 第项 D 第项,则n=_,B,8,2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二,28,增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由,：,即二项式系数,前,半部分是,逐渐增大,的，由对称性可知它的,后,半部分是,逐渐减小,的，且,中间项取得最大值,。,可知，当 时，,增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由,29,因此,当,n,为偶数时,中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值。,增减性与最大值,二项式系数的性质,因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数,30,1.在(1+x),10,的展开式中，二项式系数最大为,；,在(1-x),11,的展开式中，二项式系数最大为,.,3.在二项式(x-1),11,的展开式中,求系数最小的项的系数。,最大的系数呢？,知识对接测查2,2.指出（a+2b）,15,的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数,最大,。,解:,第,8、9,项的二项式系数,即6435最大。,1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为,31,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,二项式系数的性质,各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：,32,例1,证明在(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,赋值法,证明：,例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和,33,性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项,的二项式系数和)：,归纳提高,性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项归纳提高,34,知识对接测查3,2.求证：,证明：,倒序相加法,知识对接测查3 2.求证：证明：倒序相加法,35,求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1)(2),36,求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,所以,（3）,求奇数(次)项偶数(次)项系数的和所以（3）,37,例题点评,求二项展开式系数和，常常得用,赋值法,，设,二项式中的字母为,1,或,-1,，得到一个或几个等,式，再根据结果求值,例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设,38,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,解:设 项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11,39,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最,大的项，则有,由此确定r的取值,例题点评,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最由此确定,40,(1)二项式系数的三个性质,(2)数学思想：函数思想,a,单调性；,b,图象；,c,最值。,小结,(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想 a,41,