单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1,复数的概念,Ssxxcyh,4.1 复数的概念 Ssxxcyh,1,4.1,复数的概念,知识回顾,对于实系数一元二次方程 ，当时 ，,没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，,该问题能得到圆满解决呢？,解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？,4.1 复数的概念知识回顾 对于实系数一元二次方程,2,数的概念是从实践中产生和发展起来的,.,早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了,1,，,2,，,3,，,4,等数以及表示“没有”的数,0.,自然数的全体构成自然数集,N,随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数,.,这样就把数集扩充到有理数集,Q,.,如果把自然数集,(,含正整数和,0),与负整数集合并在一起，构成整数集,Z,，如果把整数看作分母为,1,的分数，那么有理数集实际上就是分数集,数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在,3,有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数,.,所谓无理数，就是无限不循环小数,.,有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集,R,.,因为有理数都可看作循环小数,(,包括整数、有限小数,),，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集,有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得,4,因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾,.,但是，数集扩到实数集,R,以后，像,x,2=,1,这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于,1.,由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位,.,并由此产生的了复数,因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学,5,4.1,复数的概念,自然数,有理数,整数,无理数,实数,复数,数系的扩充,4.1 复数的概念自然数 有理数整数无理数实数,6,4.1,复数的概念,引入一个新数 ，叫做,虚数单位,，并规定：,（1）,它的平方等于-1,，即,（,2,）,实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立,形如 的数，叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集，,一般用字母,C,表示,.,N Z Q R C,N,Z,Q,R,新授课,4.1 复数的概念引入一个新数 ，叫做虚数单位，并规定,7,很明显,引进虚数单位后,有,i 2=-1,(-i)2=i 2=-1,所以方程,x2=-1,的解是,x=I,虚数单位的幂的性质,:,i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(nN),以上性质叫,i,的周期性,.,很明显,引进虚数单位后,有 i 2=-1,(-i),8,4.1,复数的概念,新授课,复数的表示：,通常用字母,z,表示，即,当 时，,z,是实数,a,当 时，,z,叫做虚数,当,a,=0,且 时，,z=bi,叫做纯虚数,实部,虚部,复数,4.1 复数的概念新授课复数的表示：通常用字母 z 表示，,9,复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：,复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：,10,复数的概念2课件,11,两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果,a,，,b,，,c,，,d,R,，那么,a,+,bi,=,c,+,di,有,a,=,c,，,b,=,d,复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小,.,如,3+5,i,与,4+3,i,不能比较大小,.,现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小,两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我,12,复平面、实轴、虚轴：,复数,z,=,a,+,bi,(,a,、,b,R,),与有序实数对,(,a,，,b,),是一一对应关系这是因为对于任何一个复数,z,=,a,+,bi,(,a,、,b,R,),，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对,(,a,，,b,),惟一确定，又因为有序实数对,(,a,，,b,),与平面直角坐标系中的点是一一对应的，,由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,.,复平面、实轴、虚轴：,13,点,Z,的横坐标是,a,，纵坐标是,b,，复数,z,=,a,+,bi,(,a,、,b,R,),可用点,Z,(,a,，,b,),表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，,x,轴叫做实轴，,y,轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数,对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为,(0,，,0),，它所确定的复数是,z,=0+0,i,=0,表示是实数,.,故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR),14,复数集,C,和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即,复数 复平面内的点,复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应,.,这就是复数的一种几何意义,.,也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法,.,z,=,a,+,bi,(,a,、,b,R,),是复数的代数表示法,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即,15,共轭复数,（,1,）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）,（,2,）复数,z,的共轭复数用,表示若,z,=,a,+,bi,(,a,、,b,R,),，则,z,=,a,bi,（,3,）实数,a,的共轭复数仍是,a,本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数,（,4,）复平面内表示两个共轭复数的点,z,与 关于实轴对称,共轭复数,16,例,1,请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？,例,2,复数,2,i,+3.14,的实部和虚部是什么？,例,3,实数,m,取什么数值时，复数,z,=,m,+1+(,m,1),i,是,:,(1),实数？,(2),虚数？,(3),纯虚数？,例,4,已知,(2,x,1)+,i,=,y,(3,y,),i,，其中,x,，,y,R,，求,x,与,y,.,例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚,17,课堂练习,：,1.,设集合,C,=,复数，,A=,实数，,B,=,纯虚数，若全集,S=,C,，则下列结论正确的是,(),A.,A,B,=,C,B.,A,=,B,C.,A,B,=D.,B,B,=,C,2.,复数,(2,x,2+5,x,+2)+(,x,2+,x,2),i,为虚数，则实数,x,满足,(),A.,x,=,B.,x,=,2,或,C.,x,2 D.,x,1,且,x,2,课堂练习：,18,3.,已知集合,M,=,1,，,2,，,(,m,2,3,m,1)+(,m,2,5,m,6),i,，集合,P,=,1,，,3,.,M,P,=,3,，则实数,m,的值为,(),A.,1 B.,1,或,4 C.6 D.6,或,1,4.,满足方程,x,2,2,x,3+(9,y,2,6,y,+1),i,=0,的实数对,(,x,，,y,),表示的点的个数是,_.,5.,复数,z,=,a,+,b,i,，,z,=,c,+,d,i,(,a,、,b,、,c,、,d,R,),，则,z,=,z,的充要条件是,_.,3.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m,19,6.,设复数,z,=log2(,m,2,3,m,3)+,i,log2(3,m,)(,m,R,),，如果,z,是纯虚数，求,m,的值,.,7.,若方程,x,2+(,m,+2,i,),x,+(2+,mi,)=0,至少有一个实数根，试求实数,m,的值,.,6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m,20,8.,已知,m,R,，复数,z,=+(,m,2+2,m,3),i,，当,m,为何值时，,(1),z,R,;(2),z,是虚数；,(3),z,是纯虚数；,(4),z,=+4,i,.,8.已知mR，复数z=+(,21,4.1,复数的概念,例1 实数,m,取什么值时，复数 是,（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解,：（1）,当 ，即 时，复数,z,是实数,（2）,当 ，即 时，复数,z,是虚数,（3）,当 ，且 ，即 时，复数,z,是,纯虚数,新授课,4.1 复数的概念例1 实数m取什么值时，复数,22,小结：,1,在理解复数的有关概念时应注意：,（,1,）明确什么是复数的实部与虚部；,（,2,）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；,（,3,）弄清复平面与复数的几何意义；,（,4,）两个复数不全是实数就不能比较大小。,小结：,23,2,复数集与复平面上的点注意事项：,（,1,）复数 中的,z,，书写时小写，复平面内点,Z(,a,，,b,),中的,Z,，书写时大写。,（,2,）复平面内的点,Z,的坐标是,(,a,，,b,),，而不是,(,a,，,bi,),，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是,1,，而不是,i,。,（,3,）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。,（,4,）复数集,C,和复平面内所有的点组成的集合一一对应：,2复数集与复平面上的点注意事项：,24,自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊,人用小石卵记畜群的头数或部落的人数,。,英文,calculate,（,计算）一词是从希腊文,calculus,（,石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上,古结绳而治，后世圣人易之以书契。,直至,1889,年，皮亚诺才建立自然数序数,理论。,自然数,返回,自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊,25,零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空,位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（,zero,）,来自印度的（,sunya,）,字，其原意也是空或空白。,中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进,了负整数的引入。减法运算可看作求解方程,a+x=b,，,如果,a,，,b,是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。,整数,返回,零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹,26,分 数,原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。,古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。,返回,分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八,27,为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要,引进无理数。约在公元前,530,，毕达哥拉斯学派已知道边长为,1,的正方形的对角线的长度（即,）不能是有理数。,15,世纪达芬奇（,Leonardo da Vinci,1452-1519,）,把它们称为是“无理的数”（,irrational number,），,开普勒（,J.Kepler,1571-1630,）,称它们是“不可名状”的数。,法国数学家柯西（,A.Cauchy,1789-1875）,给出了回答：无理数是有理数序列的极