单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,优秀课件，精彩无限！,*,第八章 微积分的进一步应用,1,优秀课件，精彩无限！,第八章 微积分的进一步应用1优秀课件，精彩无限！,前面：,微分中值定理,微商与微分,研究函数,（用二阶微商判断凹凸性）,1,、,能否用高阶微商,研究函数,？,前面微分的应用,2,、,复杂的函数用,简单的函数,来近似表示,多项式,一次多项式,两个不足,1,、精确度不高,2,、不能给出,误差估计,1,泰勒公式,2,优秀课件，精彩无限！,前面：微分中值定理 微商与微分 研究函数（用二阶微商判断,能否用二次，三次，,n,次多项式,近似,？,为了简单。先计,（前面，,问题：给定一个函数,要找一个在零点附近与,近似的多项式,要求,与,之前是比,更高阶的无穷小。,怎样找？,3,优秀课件，精彩无限！,能否用二次，三次，n次多项式近似？为了简单。先计（前面，问,前面：,这时,若用,近似代替,自然要求：,-,（,2,）,用,次多项式,-,（,1,）,，自然要求,满足：,近似代替,的具体形状（系数）,由于 这些条件可以确定,4,优秀课件，精彩无限！,前面：这时 若用近似代替自然要求：-（2）,定理,8.1,公式。,在,Taylor,系数。,的,在,称为,Taylor,带佩亚诺余项的泰勒公式,有,的,为,5,优秀课件，精彩无限！,定理8.1 公式。在Taylor系数。的在称为Tay,于是,-,代入（,1,）得,由（,2,）得,这就是我们要找的多项式,？问,与,相差多少 即误差,是多少？是否是比,更高阶的无穷小？,求各阶导数,取,得,-,对,6,优秀课件，精彩无限！,于是-代入（1）得 由（2）得这就是我们要找的多项式,例,1,，,泰勤公式的一个应用,定理,8.2,定理,8.3,（唯一性）,2.,余项为其它形式的,型余项：定性的描述 误差,不能作误差估计,的定量描述,能进行误差估计,？,能否给出误差,7,优秀课件，精彩无限！,例1，泰勤公式的一个应用定理8.22.余项为其它形式的型余,（三种类型的余项）,定理,8.4,拉格朗日余项,.,佩亚诺,(Peano),余项,.,麦克劳林（,Maclaurin,）余项,8,优秀课件，精彩无限！,（三种类型的余项）定理8.4拉格朗日余项.佩亚诺(Pea,3,、,初等函数的麦克劳林公式,其中,9,优秀课件，精彩无限！,3、初等函数的麦克劳林公式其中9优秀课件，精彩无限！,其中,10,优秀课件，精彩无限！,其中10优秀课件，精彩无限！,类似可得,其中,11,优秀课件，精彩无限！,类似可得其中11优秀课件，精彩无限！,其中,12,优秀课件，精彩无限！,其中12优秀课件，精彩无限！,已知,其中,类似可得,13,优秀课件，精彩无限！,已知其中类似可得13优秀课件，精彩无限！,2,微积分在几何物理中的应用,1.,直角坐标下平面图形的面积,由,其中（,）围成的图形的面积,A,用微元法和几何意义来说明,由,轴和,所围成的面积,A,例,1,例,2,14,优秀课件，精彩无限！,2 微积分在几何物理中的应用 1.直角坐标下平面图形的面积,所围图形的面积,例,1,（两种方法和公式）,例,2,（重要变量替换）,例,3,由例,2,例,3,引出公式由参数方程表示曲线的情形,例,3,则,若,15,优秀课件，精彩无限！,所围图形的面积例1（两种方法和公式）例3则若15优秀课件,2,极坐标下平面图形的面积,用定义推导公式：或用微分法,与向径,所围成的面积,A,为,由曲线,（扇形面积,）,r,l,例,4,求心脏线 ，,所围的面积,解：,16,优秀课件，精彩无限！,2极坐标下平面图形的面积用定义推导公式：或用微分法与向径所,3.,已知截面面积的立体体积,已知某立体介于平面,和,之间，其过点,垂直于,轴的平面所截的图形面积为,则该立体的体积微元为,从而体积为,特别：旋转体的体积：,绕,轴旋转一周，,故,由连续曲线,所产生的旋转体的体积，这时,17,优秀课件，精彩无限！,3.已知截面面积的立体体积已知某立体介于平面和之间，其过点,4,、,曲线的弧长：,曲线：由方程,决定的,构成的平面点集,1,、,。称为平面曲线,2,、,曲线的方向,3,、,曲线是可求长的。弧长。,4,、,光滑曲线,光滑曲线是可求长的，且弧长为,定理,3.1,18,优秀课件，精彩无限！,4、曲线的弧长：曲线：由方程 决定的构成的平面点集1、。称,注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式,的极限问题。但是和式不是,和，通常把它改写为一个,和加上一个尾项,再利用一致连续性证明此尾项为无穷小量，在定积分应用中，,证明,见,P258,这是常用的一种典型方法。,19,优秀课件，精彩无限！,注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式的极限问题。但是和式不,下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形,1,、曲线由,给出,2,、曲线由极坐标方程,则,20,优秀课件，精彩无限！,下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形 1、曲线由 给,例、椭圆,解：其参数方程：,于是,其中,于是椭圆弧长为,这个被积函数的原函数不是初等函数。,的弧长,称为椭圆离心率,我们把这种类型的积分称为“椭圆积分”,21,优秀课件，精彩无限！,例、椭圆 解：其参数方程：于是 其中于是椭圆弧长为这个被积,5.,弧微分,几何解释：,P259,：,22,优秀课件，精彩无限！,5.弧微分几何解释：P259：22优秀课件，精彩无限！,1,）,z,曲线段,的平均曲率：,2,）曲线在一点的曲率：,3,）曲率半径,4,）曲率的计算公式：,6.,曲线的曲率（平面曲线）,参数方程,直角坐标,23,优秀课件，精彩无限！,1）z曲线段的平均曲率：2）曲线在一点的曲率：3）曲率半径,6.,旋转体的侧面积：圆台的侧面积,参数方程,直角坐标,7,、,平面曲线弧现平面图形的质心。,8,、,转动惯量,24,优秀课件，精彩无限！,6.旋转体的侧面积：圆台的侧面积参数方程直角坐标 7、平,小结,泰勒公式,麦克劳林公式,微积分在几何物理中的应用,25,优秀课件，精彩无限！,小结泰勒公式25优秀课件，精彩无限！,习题,1,、,求,函数,解,:,的三阶泰,勒公式,在点,26,优秀课件，精彩无限！,习题1、求函数解:的三阶泰勒公式在点26优秀课件，精彩无,其中,27,优秀课件，精彩无限！,其中27优秀课件，精彩无限！,已知,2,、,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解,:,令,x,=1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,=9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,28,优秀课件，精彩无限！,已知2、计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解:令,3,、利用泰勒公式求极限,求：,解,:,由于,用洛必塔法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,29,优秀课件，精彩无限！,3、利用泰勒公式求极限求：解:由于用洛必塔法则不方便!用,4,、,用近似公式,计算,cos,x,的近似值,使其精确到,0.005,试确定,x,的适用范围,.,解,:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005,.,30,优秀课件，精彩无限！,4、用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.,两边同乘,n,!,=,整数,+,假设,e,为有理数,(,p,q,为正整数,),则当,时,等式左边为整数,;,矛盾,!,5,、,证明,e,为无理数,.,证,:,时,当,故,e,为无理数,.,等式右边不可能为整数,.,31,优秀课件，精彩无限！,两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,q,附加题,1,、余项估计,令,(,称为余项,),则有,32,优秀课件，精彩无限！,附加题,33,优秀课件，精彩无限！,33优秀课件，精彩无限！,2,、利用泰勒公式证明不等式,例,4,.,证明,证,:,34,优秀课件，精彩无限！,2、利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:34优秀课件，精,计算,解,:,原式,3,、,35,优秀课件，精彩无限！,计算解:原式3、35优秀课件，精彩无限！,由题设对,有,且,4,、,证：,36,优秀课件，精彩无限！,由题设对有且4、证：36优秀课件，精彩无限！,下式减上式,得,令,37,优秀课件，精彩无限！,下式减上式,得令37优秀课件，精彩无限！,作业,P246 1(1,3,5,7),P246 2(2,4),P247 11,12,13,38,优秀课件，精彩无限！,作业P246 1(1,3,5,7)38优秀课件，精彩无限,