,二次函数的性质（,2,）初三年级 数学,二次函数 的性质：,复习：,（,1,）如果,a,0,，当 时，,y,随,x,的增大而,增大,；,当,时，,y,随,x,的增大而减小；当 时，,y,有最小值,（,2,）如果,a,0,，所以,抛物线开口向,上，,根据,二次函数的性质，,当 时,，,y,随,x,的增大而,减小；,当 时，,y,随,x,的增大而增大，,.,-,2,复习,：,二次函数,当,x,时，,y,随,x,的增大而减小；当,x,时,，,y,随,x,的增大而增大；,当,x=,时，函数有最,（大或小）值,是,.,-,2,分析,：,因为,a,=10,，,抛物线开口向上，,所以,二次函数有最小值，,当 时，函数最小值为,.,小,-,2,-,5,例,1,：观察二次函数图象回答问题：,（,1,）当,x,在什么范围内取值,时,，,y,随,x,的,增大而增大？,（,2,）当,x,在什么范围内取值时，,y,随,x,的,增大而减小？,分析：,关键,开口方向,开口向上,对称轴,图,？,例,1,：观察二次函数图象回答问题：,（,1,）当,x,在什么范围内取值,时,，,y,随,x,的,增大而增大？,（,2,）当,x,在什么范围内取值时，,y,随,x,的,增大而减小？,分析：,关键,开口方向,开口向上,对称轴,A,（,0,，,2,），,B,（,5,，,2,）,对称轴,图,图,例,1,：观察二次函数图象回答问题：,（,1,）当,x,在什么范围内取值,时,，,y,随,x,的,增大而增大？,（,2,）当,x,在什么范围内取值时，,y,随,x,的,增大而减小？,分析：,对称轴,y,随,x,的增,大而减小,下降,左侧,例,1,：观察二次函数图象回答问题：,（,1,）当,x,在什么范围内取值,时,，,y,随,x,的,增大而增大？,（,2,）当,x,在什么范围内取值时，,y,随,x,的,增大而减小？,分析：,对称轴,y,随,x,的增,大而减小,下降,左侧,y,随,x,的增,大而增大,右侧,上升,例,1,：观察二次函数图象回答问题：,（,1,）当,x,在什么范围内取值,时,，,y,随,x,的,增大而增大？,（,2,）当,x,在什么范围内取值时，,y,随,x,的,增大而减小？,解：因为,A,（,0,，,2,），,B,（,5,，,2,），,所以对称轴为 ，又因为抛物线开口向上，所以当 时，,y,随,x,的增大而增大，,当 时，,y,随,x,的增大而减小,例,2,：抛物线 ，,当,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,回答下列问题：,（,1,）抛物线的开口方向,；,（,2,）当,-,5,x,-,3,时，,y,随,x,的增大而,；,（,3,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,回答下列问题：,（,1,）抛物线的开口方向,；,分析：,由,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,(,-,1,，,0,),开口方向？,x=,-,1,例,2,：抛物线 ，,当,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,1,）抛物线的开口方向,；,分析：,由,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,(,-,1,，,0,),开口方向？,x=,-,1,向上,例,2,：抛物线 ，,当,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,2,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,2,）当,-,5,x,-,3,时，,y,随,x,的增大而,；,分析：,对称轴,开口方向,关键,向上,x=,-,1,减小,分析：,关键,-,5,-,1,-,3,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,3,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,3,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,3,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,3,）当,-,5,x,2时，,y,随,x,的增大而增大，,所以抛物线开口向上，,例,2,：抛物线 ，,当,x,2,时，,y,随,x,的增大而,增大,回答下列问题：,（,3,）当,-,5,x,2,时，,y,随,x,的增大而怎样变化,？,当,-,5,x,-,1,时，,y,随,x,的增大而减小，,当,-,1,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,解：,所以当,-,5,x,-,1,时，,y,随,x,的增大而减小，,当,-,1,x,2,时，,y,随,x,的增大而增大,或,二次函数图象的,对称轴,和,开口方向,是解决有关二次函数性质问题的关键因素,画出二次函数的,示意图,是解决二次函数问题的重要手段,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,（,2,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,分析：,因为点在函数图象上，则点的坐标满足函数的表达式,，所,以可以借助表达式,，计算出,A,、,B,两,点,的,纵坐标,，,从而进行比较,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：法一：,点 在该二次函数的,图象上,，,所以,因为,-,50,，所以 ,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,分析,：,因为函数的表达式已知，可以画出二次函数的图象，并在图象上找到,A,、,B,两点位置，根据,A,、,B,两点位置，比较,A,、,B,两,点纵坐标的大小,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：法二：画出,该二次函数的图象，,根据,两点的横坐标,在抛物线,从而确定纵坐,比较大小 ,上找到点的位置,，,标位置，,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,分析：,对称轴,x,=,1,左,x,1,时，,y,随,x,的增大而,增大,例,3,：已知二次函数,（,1,）若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：,法,三,：因为,a,=,-,10,所以,即,x,1,时，,y,随,x,的增大而增大，,因为 在该二次函数的图象上，且,-,2,-,10,，所以 ,例,3,：已知二次函数,（,2,）,若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：法二：画出,该二次函数的图象，,根据,两点的横坐标,在抛物线上找到点,的位置，,从而确定纵坐标位置，,小 ,比较大,例,3,：已知二次函数,（,2,）,若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,分析：,对称轴,x,=,1,对称点,右,x1,时，,y,随,x,的增大而,减小,例,3,：已知二次函数,（,2,）,若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：,法,三,：,因为,二次函数,的,对称轴,为 ，,点 在,该二次函数的图象上,，,所以点 关于 的对称点 也在该图象上,例,3,：已知二次函数,（,2,）,若点 在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：,法,三,：因为,a,=,-,10,所以,x,1,时，,y,随,x,的增大而增大，,因为点 ，在,该二次函数图象,上,，且,-,1,0,1,，,所以,，即 ,变式：二次函数 的图象如图所示，若点,在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,分析：,对称轴,x,=,2,左,右,对称点,x,2,时，,y,随,x,的增大而,减小,变式：二次函数 的图象如图所示，若点,在该二次函数的图象上，比较,的大小关系？,解：的大小关系为 ,方法一：把点的横坐标代入函数,表达式，计算,出纵坐标,进行比较,.,方法二：画出函数图象，根据横坐标找到点的,位置，对,纵坐标进行比较,.,方法三：根据二次函数的性质进行比较,.,精确,直观,快捷,需要具体,的,二,次,函数表达式,不需要,具体的二次函数表达式,例,4,：二次函数 中，当,x,=3,时，函数值最大,则,m,=,，最大值为,二次函数的表达式,当 时，,y,有最大（小）值,待定系数,例,4,：二次函数 中，当,x,=3,时，函数值最大,则,m,=,，最大值为,二次函数的表达式,当 时，,y,有最大（小）值,待定系数,例,4,：二次函数 中，当,x,=3,时，函数值最大,则,m,=,，最大值为,解：当,x,=3,时，函数有最大值，所以 ，,把,a,=,-,1,，,b,=,m,代入，,解得,m,=6,，,则二次函数的表达式为，,所以函数的最大,值,=,6,9,例,4,：二次函数 中，当,x,=3,时，函数值最大,.,则,m,=,，最大值为,二次函数的表达式,当 时，,y,有最大（小）值,待定系数,例,4,：二次函数 中，当,x,=3,时，函数值最大,则,m,=,，最大值为,二次函数的表达式,当 时，,y,有最大（小）值,待定系数,变式：二次函数 中，函数有最大值为,1,则,m,=,二次函数的表达式,当 时，,y,有最大（小）值,待定系数,变式：二次函数 中，函数值有最大值,1,则,m,=,解：函数有最大值,1,，所以 ，,把,a,=,-,1,，,b,=,m,，,c,=0,代入 ，,解方程，,得,小结,2,.,画出二次函数的示意图是解决二次函数问题的重要手段,4,.,会利用二次函数的最值情况建立等量关系，解决二次函数表达式,的待定系数,1,.,二次函数图象,的,开口方向和对称轴是解决有关二次函数性质问题,的关键因素,3,.,对抛物线上的点的纵坐标比较大小时要选择恰当的方法,1,.,已知二次函数 的图象如图,所示，下列说法错误的是,(),A,.,图象关于直线,x,=1,对称,B,.,函数的最小值是,-,4,C,.,函数值,y,随,x,的增大而减小,D,.,当,x,1,时，,y,随,x,的增大而减小,作业,2,.,若,点 和点 分别为抛物线上的两点，则,（,用或填空,）,3,.,已知二次函数 有最大值是,3,，则,a,的值是,作业,