,*,第五章,数学之根,第八讲,第五章数学之根 第八讲,1,3.,数理逻辑,数理逻辑是公理化、集合论与形式逻辑相结合的产物。有这样几种说法：“数学是建立在集合论与数理逻辑两块基石上的”（胡作玄）；“数学理论源于公设集与逻辑这两个因素的相互作用”（,H.,伊夫斯）；我们说“数学是建立在实数和数理逻辑上的”。尽管各种说法在形式上有所不同，但逻辑或说数理逻辑总是其公共部分，可见数理逻辑在数学中的基础作用了。,纯数学致力于从已有概念和结论得到出新的结论，数理逻辑则不然，它致力于从逻辑学的“演算”出发，根据某些基本事实，推出数学赖以存在的基石和生长点。,3.数理逻辑数理逻辑是公理化、集合论与形式逻辑相结合的产物,2,现代数理逻辑在如下四个分支上是很活跃的。,（,1,）证明论,又叫元数学，由弗雷格创立于,1893,年，后为希尔伯特及其学派发展成一门独立分支。它的主要任务是要证明数学中的“相容性”（也叫无矛盾性）。不过希尔伯特早期想用“有限”步来完成对整个数学的相容性证明是不现实的，当哥德尔不完全性定理表时“有限步”的设想不可能后，才被修改成“无穷步证明数学的相容性”。甘岑的“超穷归纳法”对“无穷步证明”贡献也较大，但至今仍没有完成原来拟定的任务，比如关于数学分析的相容性证明，都还有待继续发努力。,现代数理逻辑在如下四个分支上是很活跃的。,3,（,2,）递归论,它属于硬数学，探讨对一个函数能否用有限步进行有效计算问题。简称有效可计算问题。所谓“有效”即是要得到精确结果。,能进行有效可计算的函数叫做递归函数。递归函数是一种简单的离散动力体系模型。递归论研究的主要对象是递归函数。,作为递归函数研究的深入，是探讨非递归函数，从而得出判定问题和非判定问题概念。一般判定问题是，对一个具体公式或定理，证明是否存在一个有限可实现的步骤，使之被形式地推导出来，第一个提出判定问题的是希尔伯特以其“第十个问题”决定戴氏方程的可解性。该问题已于,1972,年为一苏联青年人马吉亚色维奇解决，其方法十分初等，令同行长辈们惊讶不矣。,判定问题又叫计算复杂性问题，这是计算机科学中一个重要理论分支。对“计算复杂性”之复杂性，曾有人戏称，若谁解决了它，当授予两吨重金质勋章，并全世界数学家放假四日，以示庆贺。,（2）递归论,4,3,）模型论,模型论产生于,1950,年左右，“模型”是一种数学结构，它常常是人为构造的，其目的是为了解释数理论逻辑上某种或某组语句（一组语言的闭公式）。对于一个语句，若能构造出一个模型使得语句在该模型中成为“可满足的”，则该语句为真。,有人把语句比作语法，模型比作语义。亦即这时的模型相当于在语句所给语法范围内，构造出一个例句来，若构造成功，则该语句是“合理”的。,显然，模型论的关键在于构造模型，这是很难的具有高度技巧性的内容，是需要专门研究的课题，目前已创造出若干建模的方法，诸如初等链法、图式法、力迫法、超积法、齐性集合法、紧性定理法等等。,3）模型论,5,4,）公理集合论,在本章第二节已简单介绍，公理集合论是继哥德尔不完全定理之后，为了谨慎探索集合论的性质，分别提出来的若干公理系统，从而也是一定的限制范围内研究集合的理论。这的确是很凑效的，每个公理系统都为数理逻辑或纯数学作出了重要贡献。其中最早完成也是最有名、贡献最大的公理系是策梅罗的选择公理系，好多有名定理的证明都不少不了选择公理系。,4）公理集合论,6,4.,数学哲学,哲学是一个认识科学，它把经验和现象上升成理念，以认识事物的本质，因此任何一门科学，包括对社会、人生的理解，只要触及到本质，可以说就进入了哲学。在这方面数学更为典型。,历史一开始，数学与哲学就是孪生兄弟，数学方法为哲学的方法论所倾慕，而数学方法探源则成了哲学的认识论。这就不难理解数学史上任何时期都不乏身兼数、哲两职的数学家了，原来这正是数学自身的需要,。,即然是哲学，就少不了争论，在这场数学哲学的争论中主要希望解决逻辑与数学的关系、什么是数学等问题，在争论中形成了三大学派，他们共同的目标是，试图用自己的一套理论去统览数学。,4.数学哲学哲学是一个认识科学，它把经验和现象上升成理念，,7,1,）直觉主义学派,其代表人物,L.,布劳威尔（,18811966,）。知道布劳威尔不动点定理的读者不少，但知道他对数学的哲学观点者，就不一定多了。直觉主义的特点是“植根于数学的构造性”。这是算术计算形式的深化与扩充，属枚举数学、穷竭法等思想体系，也可以叫它做“硬数学”。它既不同于现实世界中的感觉（经验主义），也不同于逻辑主义中的“演算，”它认为逻辑规律并不对数学有任何约束作用，数学是自由的，他们不承认无理数、不承认无穷性的阶和超势等抽象的概念；他们坚持康德的观点，认为算术是在时间基础上的直觉，而数学是建立在算术基础上的，所以数学应该是“直觉”的；他们试图构造一个不依靠排中律的集合论，为此还于,1909,年直接与希尔伯特通信辩论过。,1）直觉主义学派,8,2,）形式主义学派,尽管希尔伯特自己并不承认其形式主义，但举世公认形式主义学派的代表人物是希尔伯特，他的信条是“数学与形式符号有关”。他是在完成,几何学原理,（,1899,）的基础上“建立起”这一学派的，他提出了一套“宏伟”计划，试图把整个数学无矛盾地纳入一套完备的形式符号体系，由此产生了所谓“元数学”以解决形式系统的“相容性”问题，这些理论已完全表述在其失败巨著,数学基础,一、二卷上（,19341939,）。虽然这套计划被哥德尔不完全性定理（,1930,）打破了，整个数学形势也为之改观了，但形式主义也仅仅“被泼了一瓢凉水”，其结果不是冷却了。而是变得更清醒了。,2）形式主义学派,9,3,）逻辑主义学派,其代表人物是罗素，他的信条是“数学属于逻辑学”，因此他致力于从逻辑角度推出全部数学，或说企图把数学还原为逻辑学。他在其著作,数学原理,中说，“数学是所有形如,P,蕴含,q,的命题集，其中,p,、,q,都含相同数目的一元或多元命题“，他企图在”类“和”关系“的概念下，通过命题演算和谓词演算推出”自然数系“，并由此演生算术乃至整个数学，大有把数学一并囊括到逻辑学的架势。不过在包括他本人也发现了悖论之后，使得他“可以把数学还原成逻辑”的猜想遇到了困难。但这并未使他屈服，仅使他把逻辑主义的方向转为“在消除悖论的基础上”，“仍然致力于把数学还原为逻辑学”这一目标，这也是罗素与怀特海德的名著,数学原理,（,1913,）的动因和努力方向。,3）逻辑主义学派,10,为什么具有如此殊异和相互矛盾的三大流派：“直觉主义”、“形式主义”和“逻辑主义”能够同时存在一个严紧的数学体系内呢？仔细想来，这不本身就回答了“为什么数学会有不完全性”的问题了吗？要是数学真的“完全”，它就不能容纳三大独立的描述整体数学的完整体系于一家。借此我们还能相信，数学作为一个体系是个没有边界的范畴，是不可能统一于一个无矛盾的统一体内的，从另一方面，由三大派别的殊异性也正好构成了相互制约的格局，使我们站在他们理论外面的人不难相信，“谁也不可能包览数学整体”。,为什么具有如此殊异和相互矛盾的三大流派：“直觉主义”、“形式,11,5.,数学发展的源动力,数学发展的动力是什么？,（,1,）实践的需要,这里“实践”包括生产实践、科技实践乃至社会生活实践。恩格斯说，“科学的产生与发展，一开始就是由生产所决定的。,”,的确，历史之初从结绳记事，洽指数数到测量几何、航海三角、鸡兔代数等实践中产生的初等数学已是人所不讳的了。现代数学又怎么样呢？我们说哈米尔顿同周游世界和哥尼斯堡七桥问题产生图论，赌博问题产生概率论，养免问题产生悲波拉契级数，计算机问题产生模糊数学，优化需求产生运筹学，电子理论产生极限环等等。其实诸如大系统理论、规范场理论、非交换调和分析、动力体系、混沌理论等等，无一不是实践需要下产生的数学理论分支。,5.数学发展的源动力 数学发展的动力是什么？,12,（,2,）内在的刺激,数学发展的另一大动力来自内在问题刺激，这是已表述过的观点，现只须说明三个问题。,1,）产生内在问题不在数学发生之初，仅在数学或其分支发展到一定程度之后。比如数论三大难题的提出不是在数论产生之初；数学大爆炸不是在,19,世纪以前；数学危机不发生在人类初起等等，实际上数学或其分支之最初动力往往来自客观（包括生产）刺激，到一定时刻才产生内在刺激以致独立发展。,（2）内在的刺激,13,2,）为什么内在的问题能驱使人们去发展数学？我们认为这来自一种人类对数学完美要求刺激；来自人类的一种征服心理的刺激。黎曼在创造黎曼几何时并非认识到它会是相对论的基础；伽罗华创造群论时并不知道它如此普遍的应用领地，可说只是凭着他们天赋兴趣的驱使去创造的。,3,）内在刺激的具体形式，这就是已经谈到过的问题：悖论、猜测、诡辩等形式。,总之，本节观点是，不仅“数学之树”中的树根是数学的基础；数学发生的环境也是数学的基础；数学发展的动力（土壤中的营养）也应该是数学的基础。,2）为什么内在的问题能驱使人们去发展数学？我们认为这来自一种,14,最后我们指出,;,数学的每一个分支都是互相联系着的。,数学的每个分支就像庭院里的瓜藤，把它的触须伸得长长的，逢上任何东西都紧紧地与之拉起手来。这就是我们已经看到的现象连续数学可用上离散方法，离散模型可用上连续方法，计算数学离不了演绎数学，演绎数学少不了计算方法；代数中有分析，分析中有代数,原来数学中每个分支几乎都与别的所有学科神奇般的联系着，形成了一个严密的“网”，这或许才是今日数学之真面目。,最后我们指出;数学的每一个分支都是互相联系着的。,15,也许我们用图论中“图”的概念来表征数学分支间的关系更为恰当。,什么叫“图”？简单说，空间中任意有限点集,V,及,V,中任二点间可能的连接关系之总体员做图。图的几何学叫做图论。图论的历史是由欧拉公式、欧拉定理（哥尼斯堡七桥问题），哈米尔顿周游世界问题、四色问题等名题串成的，特别在应用数学和计算机时代，更显出了它的生命力，不仅在电子线路版上有它的理论，在运筹学、组合数学中出有它的重要地位，如今用它的概念于数学的整体结构描述，也是十分恰当的。,也许我们用图论中“图”的概念来表征数学分支间的关系更为恰当。,16,还要说明的一点是，数学之图是动态的，发展变化着的，且越来越复杂。因为数学在不断“分裂”出新分支，又在不断“并合”出新分支、还在不断“创造”新分支。同时，数学分支间还在相互渗透着、连络着，界限越来越模糊。,这里自然产生一个问题。数学之图越来越复杂，因此人类智商的进化将越来越跟不上，势必数学家容易倾向越来越专，领域越来越窄，这将潜伏一种危机，“隔行如隔山”将会向着“隔专题如隔山”发展，“门户之见”将会变得越来越强，“门户”将会变得越来越窄,.,还要说明的一点是，数学之图是动态的，发展变化着的，且越来越复,17,