单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章 量子力学中的对称性,本章是关于对称性、兼并和守恒律的一般性理论讨论。,4.1,对称性、守恒律和简并,一、经典物理中的对称性,对拉格朗日函数：,若 ，即广义动量为运动常数,.,类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：,第4章 量子力学中的对称性 本章是关于对称性、兼并和守恒律的,二、量子力学中的对称性,量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符,T,相联系的，习惯上,T,常被称作对称算符。,若,T,作用下系统不变,则称系统具有与,T,相关的对称性,.,对无穷小变化的操作，,T,可写为，,其中,G,是该对称操作的厄米生成元。,若,H,在,T,作用下不变，则根据海森堡运动方程，有 ，即,G,是运动常量。,如动量是平移的生成元，若,H,在平移操作下不变，则动量是运动常量（守恒）。类似的，若,H,在转动下不变，则转动的生成元角动量守恒。,从态矢变化的角度看，若,G,与,H,对易，则,保持是,G,的本征态，且,G,的本征值不变：,即使初始态矢不是,G,的本征态，,G,的期望值也是不变的（守恒）。,二、量子力学中的对称性量子力学中的操作如平移、转动等是与一个,三、简并,若,H,T=0,，,T,为某对称算符，,|n,为本征值为,E,n,的能量本征态，则,T|n,也是相同能量的能量本征态。如果,T|n,与,|n,是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时,T,由连续参量,表征,T=T(,),此时所有的,T(,)|n,态都简并（但简并度只是独立的,T(,)|n,态数）。,如对转动，可构造,H,J,2,J,z,的共同本征态,|n;j,m,。由上所知，所有,D(R)|n;j,m,态能量简并。,由于 ，改变表征,D(R),的连续参量,可得不同,|njm,的组合，故不同,m,的,|njm,是简并的，,简并度,为,2j+1,。,从,H,J,=0,和,J,作用于,|njm,，也可知其有,2j+1,简并度,作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于该势在转动下不变，故原子能级有,2j+1,重简并。若外加,Z,方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被（部分）消除。,三、简并若H,T=0，T为某对称算符，|n为本征值为E,4.2,分离对称性，宇称或空间反演,上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。,宇称或空间反演操作将,r,变为,-,r,，而右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。,对称操作的两种等价方式：主动与被动,4.2 分离对称性，宇称或空间反演 上面讨论的是连续性对称,一、宇称算符的基本性质,对,|,，,用幺正算符,表示宇称算符，,|,|,。,要求位置算符的期望值变号，即,则有,位置本征态,|,x,在宇称作用下变为本征值为,-,x,的态：,故,由于用,作用两次体系必恢复原状，故,2,=1,=,-1,=,+,，,是厄米的。,对,的本征态,|,因,|,=,2,|,，知,=1,一、宇称算符的基本性质对|，用幺正算符表示宇称算符，|,二、算符在宇称操作下的变换,由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：,有,或,p,=0.,该关系与,p=dx/dt,的预期相同。,对轨道角动量,L,=,x,x,p,，可预期,L,=0.,对一般角动量，考虑到,R(,宇称,)=-,I,，,宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易：,D(R)=D(R),J,=0.,二、算符在宇称操作下的变换由于先平移后反演等同于先反演后在相,三、矢量和赝矢量,在转动下,x,和,J,以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但,x,和,p,与,反对易，而,J,与对易。,与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。,类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易）。,L,S,、,x,p,是标量：,+,L,S,=,L,S,赝标量的例子包括,S,x,、,L,x,等：,三、矢量和赝矢量在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，,四、波函数在宇称操作下的变换,若,|,为宇称本征态，,|,=,|,则,=,故有,“,+”,对应偶宇称，“,-”,对应奇宇称。当然，只有与,对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与,对易，其本征态即平面波并非,的本征态，而轨道角动量的本征态则可为,的本征态：,四、波函数在宇称操作下的变换,五、能量本征态与宇称,若,H,=0,而,|n,是,H,的本征值为,E,n,的,非简并,本征态，则,|n,是宇称本征态。,证：,H,|n=E,n,|n,由非简并性得,|n=e,i,|n.,作为应用，考虑简谐振子本征态。,由于基态为高斯函数，,|0=|0,而,|1=,a,+,|0=-|1,。,类似可推得,|n=(-),n,|n,注意,:,非简并性对得出,|n,是,的本征态是,非常重要的。若有简并，如氢原子体系，,C,p,|2p+C,s,|2s,是,H,本征态，但并非,的本征态。,又如动量本征态也是自由粒子,H,本征态，但,|p,和,|-p,简并,|p,并非,的本征态,.,当然，我们可以通过组合,H,的简并本征态而得到,的本征态，如,|,=|p,|-p,便是,和,H,的共同本征态,(1+,)|n,和,(1-,)|n,总是,宇称本征态,五、能量本征态与宇称若H,=0,而|n是H的本征值为,六、对称双势阱,H,与,对易，,E,A,=H|A,E,S,=H|S,，,E,A,-E,S,随势垒增高而减少。,取,|R|S+|A,，,|L|S-|A,在,作用下,|R,和,|L,对调,.|R,和,|L,不是,或,H,的本征态，但有相同能量期望值,.|R,和,|L,是非定态,若,t,0,=0,处于,|R,，则,t,时状态为,该态在,|R,和,|L,间震荡，震荡角频率为,该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则,E,A,=E,S,，从而,=0,，不再震荡。,注：对无穷高势垒，,|R,和,|L,均是,H,的本征态，但非,的本征态。即,H,所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。该现象在自然界相当普遍,(,铁磁、糖与氨基酸的手性等,),。,六、对称双势阱,七、宇称选择定则,若,即奇宇称的,x,将相反宇称的态相联系。,该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。,如果,H,=0,，能量非简并态必无偶极矩：,=0,当然，对简并态，则,不一定为零。,宇称不守恒：,若,H,与,对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。基本粒子间的弱作用,H,与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。,七、宇称选择定则 若,4.3,分立对称性：晶格平移,晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重要的应用。,对一维周期势，,+,(,a,)V(x),(a)=V(x+a)=V(x),a,为晶格常数。,H,(a)=0,(a),和,H,可同时对角化,.,在,H,和,(a),的共同本征矢中，由于,幺正而非厄米，,的期待值为复数且模为,1,。,为求出,(a),的本征态，先考虑无限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。设相应能量本征态为,|n,H|n=E,n,|n,n,表示格点位置,不同,|n,简并,。,虽然,|n,是,H,的本征态,且,H,与,(a),对易，,|n,不是,(a),的本征态。将不同,|n,线性叠加,可得到,(a),的本征态,:,4.3 分立对称性：晶格平移 晶格平移这一分立对称性在固体,有限高势垒时，,|n,并不完全局域于格点,n,，而是主要集中于格点,n,而随与,n,的距离而衰减。,以,|n,为基构造,|,，,|,仍为本征值为,e,-i,的本征态,由于,设 ，有,取,k=,/,a,，则,可见,晶格平移算符的本征态,|,之波函数可写成平面波与具有晶格周期性的函数之乘：,且 ，,k,空间范围称为,(,第一,)Brillouin Zone,Bloch,定理,有限高势垒时，|n并不完全局域于格点n，而是主要集中于格点,能量本征值,可见不同,k=,/,a,的态能量本征值不同,.,能量本征值,能量本征值,紧束缚近似,:=E,0,原来简并的能级被消简并，形成能量范围为,E,0,-2,到,E,0,+2,的能带。,非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些,多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉,能量本征值紧束缚近似:=E0,作业：,4.2,，,4.3,，,4.6,作业：4.2，4.3，4.6,