单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矢量代数,1.矢量与标量,一标量,定义：,只有大小，没有方向的量。,表示：,数字（可带正负号）。,加法：,代数和。,二矢量,定义：,既有大小，又有方向的量。,表示：,加法：,平行四边形法则或三角形法则。,2.矢量的合成与分解,一矢量的合成,矢量,2,矢量,3,二矢量的分解,把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。,1,矢量的分解,一般一个矢量有无穷多种分解法,矢量,4,2,矢量的正交分解,矢量,8,x,y,z,三矢量和（差）的正交分量表示,3.矢量的乘积,定义：,一,.,矢量乘以标量,性质：,二,.,矢量的标积,定义：,性质：,矢量的标积的正交分量表示：,三,.,矢量的矢积,定义：,性质：,矢量的标积的正交分量表示：,4.矢量函数的导数与积分,一,.,矢量函数,二,.,矢量函数的导数,定义,矢量,10,x,y,z,性质,矢量函数导数的正交分量表示,三,.,矢量函数的积分,定义,矢量函数积分的正交分量表示,性质,5.标量场的梯度与矢量场的散度、旋度,一、,标量场的梯度,梯度用来表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。,标量场,:,笛卡儿坐标,:,二、矢量场的散度,(1),通量,一个矢量场通过 面元的通量为,通过,S,面的通量为,通过,S,面的通量为,(2),散度,设封闭曲面,S,所包围的体积为 ，则,就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，,或者平均发散量。,若平均发散量的极限值存在，便记作,散度可用来表征空间 各点矢量场发散的强弱程度，当,div,，表示,该点有散发通量的正源；,当,div,，表示该点有吸收通量的负源；,当,div,，表示该点为无源场。,(3),高斯定理,它将,一个闭合曲面的,面积分,转为该,曲面所包围体积的,体积分,，反之亦然。,三、矢量场的旋度,(1),矢量场 的环量,将矢量场 沿一条有向闭合曲线,L,的线积分,称为 沿该曲线,L,的环量。,(2),旋度,设闭合曲线,L,围着面积,当 时,对,L,的环量与 之比的极限称为 的旋度沿该面法线的分量,旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处,rot,称为无旋场。,(3),斯托克斯定理（,Stokes Theorem,）,它将任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,