3,确定二次函数的表达式,二次函数解析式有哪几种表达方式？,一般式：,y=ax,2,+bx+c,顶点式：,y=a(x-h),2,+k,如何求二次函数的解析式？,已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式,.,交点式：,y=a(x-x,1,),(x-x,2,),1.,一次函数,y,=,kx,+,b,(,k,0),有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？,2.,求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？,2,个,2,个,待定系数法,(,1,),设：（表达式）,(,2,),代：（坐标代入）,(,3,),解：方程（组）,(,4,),还原：（写表达式）,1.,会用待定系数法确定二次函数的解析式,.,2.,会求简单的实际问题中的二次函数解析式,.,关于,y,轴对称,特殊条件的二次函数的表达式,已知二次函数,y,ax,2,c,的图象经过点,(2,3),和,(,1,3),，求这个二次函数的表达式,解,:,该图象经过点（,2,3,）和,(,1,3,),，,3=4,a,+,c,，,3,=,a,+,c,，,所求二次函数表达式为,y,=,2,x,2,5.,a,=2,，,c,=,5.,解得,例,1,1.,已知二次函数,y,ax,2,bx,的图象经过点,(,2,，,8),和,(,1,，,5),，求这个二次函数的表达式,解,:,该图象经过点（,2,8,）和（,1,5,），,图象经过,原点,8=4,a,2,b,，,5=,a,b,，,解得,a,=,1,b,=,6,.,y,=,x,2,6,x,.,例,1.,已知二次函数的图象经过点,(,1,，,5),，,(0,，,4),和,(1,，,1),求这个二次函数的表达式,解：设这个二次函数的表达式为,y,ax,2,bx,c,依题意得,这个二次函数的表达式为,y,2,x,2,3,x,4.,a,b,c,1,，,c,4,，,a-b,c,5,，,解得,b,3,，,c,4,，,a,2,，,知识点一：一般式法求二次函数的表达式,问题,1,（,1,）,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？,3个,3个,（,2,）,下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：,x,-3,-2,-1,0,1,2,y,0,1,0,-3,-8,-15,例,2.,选取,点,（,-3,，,0,），（,-1,，,0,），（0，,-3,）,，求这个二次函数的表达式,解：设这个二次函数的表达式是,y=,ax,2,+,bx,+c,把,（-3，0），（-1，0），（0，-3）,代入,y,=,ax,2,+,bx,+,c,得,9,a,-3,b,+,c,=0，,a,-,b,+,c,=0，,c,=-3，,解得,a,=-1，,b,=-4，,c,=-3,.,所求的二次函数的表达式是,y,=-,x,2,-4,x,-3.,待定系数法,步骤：,1,.,设：,（表达式）,2,.,代：,（坐标代入）,3,.,解：,方程（组）,4,.,还原：,（写表达式）,这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做,一般式法,.,其步骤是：,设函数表达式为,y,=,ax,2,+,bx,+,c,；,代入后得到一个三元一次方程组；,解方程组得到,a,b,c,的值；,把待定系数用数字换掉，写出函数表达式,.,归纳总结,一般式法求二次函数表达式的方法,已知二次函数,y,ax,2,bx+,c,的图象经过点,(,1,10),(1,4),，,(2,7),三点，,求这个二次函数的表达式,解,:,设所求二次函数的表达式为y=,ax,2,+,bx,+,c,.,所求二次函数表达式为,y,=,2,x,2,-3x,-,5.,该图象经过点（,2,3,）和,(,1,3,),，,a,=2,，,10=,a-b,+,c,，,7,=4,a+,2,b,+,c,，,c,=,5,.,解得,4,=a+b+c,b=-3,，,【,跟踪训练,】,例,1.,选取顶点,（,-2,，,1,）,和点,（,1,，,-8,），,试求出这个二次函数的表达式,.,解：设这个二次函数的表达式是,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,把顶点,（-2，1）,代入,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,得,y,=,a,(,x,+2),2,+1，,再把点,（1，-8）,代入上式得,a,(1+2),2,+1=-8，,解得,a,=-1,.,所求的二次函数的表达式是,y,=-(,x,+2),2,+1,或,y=-,x,2,-4,x,-3,.,知识点二：顶点法求二次函数的表达式,例,2.,已知二次函数的图象与,y,轴交点的纵坐标为,1,，且经过点（,2,，,5,）和（,-2,，,13,），求这个二次函数的表达式,.,a=2,b=-2,c=1,解：,y=2x,2,-2x+1,设所求的二次函数表达式为，,c=1,4a+2b+c=5,4a-2b+c=13,由条件得：,解方程组得,因此，所求二次函数的表达式是,(a0),归纳总结,顶点法求二次函数的方法,这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做,顶点法,.,其步骤是：,设函数表达式是,y=,a,(,x,-,h,),2,+,k,；,先代入顶点坐标，得到关于,a,的一元一次方程；,将另一点的坐标代入原方程求出,a,值；,a,用数值换掉，写出函数表达式,.,一个二次函数的图象经点,(0,1),，它的顶点坐标为,(8,9),，,求这个二次函数的表达式,.,解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为,(8,9),，因此，可以设函数表达式为,y,=,a,(,x,-,8,),2,+,9.,又由于它的图象经过点,(0,1),，可得,1=,a,(,0,-,8,),2,+,9.,解得,所求的二次函数的,表达,式是,【,跟踪训练,】,解：,（-3，0）（-1，0）,是抛物线,y,=,ax,2,+bx+c,与,x,轴的交点,.,所以可设这个二次函数的表达式是,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,),.(其中,x,1,、,x,2,为交点的横坐标,.,因此得,y,=,a,(,x,+3)(,x,+1),.,再把点,（0，-3）,代入上式得,a,(0+3)(0+1)=-3，,解得,a,=-1，,所求的二次函数的表达式是,y,=-(,x,+3)(,x,+1),即,y,=-,x,2,-4,x,-3.,例,3.,选取,（,-3,，,0,），（,-1,，,0,），（0，,-3,），,试求出这个二次函数的表达式,.,知识点三：交点法求二次函数的表达式,x,y,O,1,2,-1,-2,-3,-4,-1,-2,-3,-4,-5,1,2,归纳总结,交点法求二次函数表达式的方法,这种知道抛物线与,x,轴的交点，求表达式的方法叫做,交点法,.,其步骤是：,设函数表达式是,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)；,先把两交点的横坐标,x,1,x,2,代入到表达式中，得到关于,a,的一元一次方程；,将另一点的坐标,代入原方程求出,a,值；,a,用数值换掉，写出函数表达式,.,想一想,确定二次函数的这三点应满足什么条件？,任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于,x,轴，但不可以平行于,y,轴,.,解析：,设所求的二次函数为,y=ax,2,+bx+c,，,由条件得：,a-b+c=10,，,a+b+c=4,，,4a+2b+c=7,，,解方程组得：,因此，所求二次函数的解析式是：,a=2,b=-3,c=5.,y=2x,2,-3x+5.,1.,已知一个二次函数的图象过（,1,，,10,），（,1,，,4,），（,2,，,7,）三点，求这个函数的解析式,.,【,跟踪训练,】,2.,已知抛物线的顶点为,(-1,，,-3),与,y,轴交点为,(0,，,-5),求抛物线的解析式,.,y,o,x,解析：,设所求的二次函数为,y=a(x,1),2,-3,由点,(0,-5),在抛物线上得：,a-3=-5,得,a=-2,，,故所求的抛物线解析式为,y=,2(x,1),2,-3.,-1,-3,3.,当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.,解析：方法一：,由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对,称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，,所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），,设函数解析式为,y=a(x,-,1),2,+4，因为当x=-2时，y=0，所以,0,=a(,-2-,1),2,+4，所以 ，所以函数解析式为,y=,(x,-,1),2,+4，即,【,例3,】,当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.,【,例题,】,解析：方法二：,由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对,称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，,所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），,设函数解析式为,y=a,（x+2)(x-4)，因为当x=1时，y=4，所,以4,=,a(1+2)(1-4)，所以 ，所以函数解析式为,y=,(x,+2)(x-4)，即,4.,（西安,中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过,A,（,-1,，,0,），,B,（,3,，,0,），,C,（,0,，,-1,）三点,.,求该抛物线的解析式,.,【,解析,】,设该抛物线的解析式为,y=ax,2,+bx+c,根据题意，得,解之 得,所求抛物线的解析式为,A,y,x,O,C,B,【,规律方法,】,1.,求二次函数,y=ax,2,+bx+c,的解析式，关键是求出待定系数,a,b,c,的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于,a,b,c,的方程组，并求出,a,b,c,，就可以写出二次函数的解析式,.,2.,当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式,y=a(x-h),2,+k,将,h,k,换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出,a,的值,.,已知三点坐标,已知顶点坐标或对称轴或最值,已知抛物线与x轴的两个交点,已知条件,所选方法,用一般式法：,y,=,ax,2,+,bx,+,c,用顶点法：,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,用交点法：,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,),(,x,1,x,2,为交点的横坐标）,待定系数法,求二次函数解析式,用待定系数法确定,二次函数,关系式的一般步骤和运用的思想方法,.,一般式,x,2,1,0,1,2,y,m,0,3,n,3,上,直线,x,1,知识点,2,用顶点式确定二次函数表达式,4,.,已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为,(,),5,.,抛物线的对称轴为,x,=1,其最高点的纵坐标是4,且经过点(0,3),则抛物线的表达式为,.,y,=-,x,2,+2,x,+3,D,解:二次函数图象的顶点为P(4,-4),设二次函数的表达式为y=a(x-4),2,-,4.,又二次函数图象经过原点(0,0),0=a(0-4),2,-4,解得a=,二次函数的表达式为y=4,即y=x,2,-2x.,知识点,3,用交点式确定二次函数表达式,7,.,如图是一条抛物线的图象,则其表达式为,(,),A.y=x,2,-2x+3 B.y=x,2,-2x-3,C.y=x,2,+2x+3 D.y=x,2,+2x-3,B,8,.,已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴的交点坐标是,O,(0,0),B,(2,0),且经过点,A,(-2,-4),求抛物线,y=ax,2,+bx+c,的表达式,.,9,.,已知抛物线,y,=,x,2,+,bx,+,c,经过点,(3,1),和,(-1,1),则此抛物线还经过点,(,),A.(1,-2)B.(-2,0),C.(0,-2)D.(0,2),10,.,已知抛物线与二次函数,y,=-3,x,2,的图象的开口方向和大小均相同,且顶点坐标为,(-1,3),则它对应的函数表达式为,(,),A.,y,=-3(,x,-1),2,+3 B.,y,=3(,x,-1),2,+3,C.,y,=