单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1 离散型随机变量,第二章 随机变量及其概率分布,一、古典概型：,定义在样本空间上实值函数,X=X,(,),称为,随机,1,、定义,2.1,:,变量.,惯用大写字母,X,Y,Z,等表示随机变量,其,取值用小写字母,x,y,z,等表示.,在掷骰子试验中,用,X,表示出现点数,则有,X,(,),=,其中 ,=,1,2,3,4,5,6,在检查产品质量试验中,用,X,表示合格品件数,若,=,合格品,次品,则有,第1页,第1页,二、离散型随机变量概率分布：,设,X,是定义在样本空间上一个随机变量,若,X,1,、定义,2.2,:,其取值,x,i,i=,1,2,记,所有也许取值只有有限个或可列无穷多个,称,X,是,一个,离散型随机变量,.,2,、定义,2.3,:,设,X,是离散型随机变量,其所有也许取值为,i=,1,2,称,p,(,x,i,),i=,1,2,为,X,概率分布.,X,x,1,x,2,x,i,P,p,1,p,2,p,i,X,概率分布表,或,分 布 律,第2页,第2页,3,、离散型随机变量概率分布,p,(,x,i,),性质:,(1),p,(,x,i,),0,(,i=,1,2,);,第3页,第3页,第4页,第4页,例:,设一汽车在开往目的地道路上需通过四个信号灯,每个信号灯以1/2概率允许或严禁汽车通过.以X表示汽车初次停下时,它已通过信号灯数(设各信号灯工作是互相独立),求X分布律.,解,以p表示每个信号灯严禁汽车通过概率,易知X分布律为,或写成PX=k=(1-p),k,p,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p),4,.,以p=1/2代入得,第5页,第5页,(2),从而,第6页,第6页,例,2.1,从一批有,10个合格品与3个次品产品中,一件,一件地抽取产品,每次取出一件产品后总将一件合格,品放回该批产品中,直到取出合格品为止,求抽取次,数分布律.,解,设,X,表示“抽取次数”，它也许取值是1,2,3,4,而取每个值概率为,第7页,第7页,因此,X,概率分布为,X,1 2,3 4,P,10/13 33/169 72/2197 6/2197,第8页,第8页,2.1 0-1分布(两点分布),X,0,1,P,k,1-,p,p,第9页,第9页,X,0,1,P,k,0.55,0.45,第10页,第10页,X,0,1,P,k,0.1,0.6+0.3,第11页,第11页,例:,在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品机会都相等.,若定义随机变量X为,则有 PX=0=0.05,PX=1=0.95,若定义随机变量Y为,则有 Y=0=0.95,PY=1=0.05,从中看到X,Y都服从(0-1)分布,第12页,第12页,三、常见离散型随机变量：,把一个随机试验重复进行,n,次,每次试验结果间互,1,、二项分布:,不影响,每次试验只有两个也许结果:事件,发生,称这样试验为,n,重伯努利试验,该数学模型,称为,伯努利模型,.,定理,2.1,:,在伯努利试验中,若事件,A,发生概率,P,(,A,)=,p,(0,p,1),则在,n,次试验中事件,A,正好发生,k,次概率为,第13页,第13页,第14页,第14页,定理,2.1,:,设随机变量,X,也许取值为,0,1,n,且取这些值,概率为,则称,X,服从参数为,n,p,二项分布,它是最简朴离散型随机变量,此时,X,也许取值只,有,0或1,即,X,1 0,P,p,1,-,p,第15页,第15页,第16页,第16页,例,2.2,某人进行射击,设每次射击命中率为,0.02,解,设,X,表示“击中次数”，则,XB,(400,0.02),有,独立射击,400次,试求至少击中两次概率?,第17页,第17页,例,2.3,连续不断地掷一枚均匀硬币,问至少掷多少次才,能使正面至少出现一次概率不小于,0.99?,解,设需投掷,n,次,X,表示“正面朝上”，则,P,(,A,)=1/2,在,n,次投掷中,A,出现次数为,X,则,X,B,(,n,0.5),第18页,第18页,0-1分布和二项分布关系,X,0,1,P,i,1-,p,p,第19页,第19页,第20页,第20页,2,、泊松分布:,若一个随机变量,X,概率分布为,定义,2.5,:,第21页,第21页,第22页,第22页,解,(1),(2),(3),第23页,第23页,例,2.4,某商店依据过去销售统计知道某种商品,分布来描述,为了以,95%以上概率确保,(设只在月底进货)?,解,设该商店每月销售该商品件数为,X,，,据题意,要求,a,使得,不脱销,问商店在月底应存多少件该种商品,月底存货为,a,件,则当,X,a,时就不会脱销.,第24页,第24页,由附录泊松分布表知,于是,这家商店只要在月底存不低于,15,件,就能以0.95以上概率确保下个月该种商品,不会脱销.,第25页,第25页,定理,2.2(,泊松定理,),:,固定非负整数,k,有,注,由泊松定理,能够将二项分布用泊松分布来近似:,理来近似计算.,第26页,第26页,第27页,第27页,第28页,第28页,例,2.5,纺织厂女工照料,800个纺锭,每一纺锭在某一段,时间内发生断头概率为,0.005(设短时间内最多只发,解,设,X,为800个纺锭在该段时间内发生断头次数,泊松分布,从而有,生一次断头,),求在这段时间内共发生断头次数超出,2,概率.,则,XB,(800,0.005),它近似于参数为,=8000.005,第29页,第29页,3,、超几何分布:,设,N,n,m,为正整数,n,N,m,N,;又设随机变量,定义,2.6,:,注,从一个有限总体中进行不放回抽样均会碰到超几,何分布.如,从包括,M,个不合格品,N,个产品中不放,回地随机抽取,n,个,则其中含有不合格品个数,X,服从超几何分布,且有,(,r,=min,M,n,n,N,M,均正整数),第30页,第30页,作 业,P 34 :,1,2,3,4,5,6,习 题,二,第31页,第31页,