单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分,60,第八章 多元函数微分学,【多元函数微分学】习题课,一、主要内容,二、典型例题分析,涅单瞻呻亢炬宰油铺肃辙妆髓团妖媳捐遥叁垄服取肄袒汗室殷矿助颈粮制多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),【多元函数微分学】习题课一、主要内容二、典型例题分析涅单瞻呻,1,一、主要内容,貌慨宛炎综铭丙激菜抵几嘉君策杉蛆贝尼徽徘扩懦可选煽逮磁撤阴乡喜肘多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),一、主要内容貌慨宛炎综铭丙激菜抵几嘉君策杉蛆贝尼徽徘扩懦可选,2,1、区域,(1) 邻域,(2) 区域 连通的开集称为区域或开区域.,(3) 聚点.,(4),n,维空间.,锻盔履滦熏掐洲苛喝坯斗层祭放言赖抗疼页情着毒绿父职豢忌著泪拳阀始多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),1、区域(1) 邻域(2) 区域 连通的开集称为区域或,3,2、多元函数概念,(1) 二元函数.,(2) 当,n, 2 时,n,元函数统称为多元函数.,3、多元函数的极限及求法,注意:,定义中,P,P,0,的方式是任意的.,4、多元函数的连续性,(1) 最大值和最小值定理;,(2) 介值定理.,5、多元连续函数的性质,塘倾砧娄谚早叉桂殆类供喳浑凡撬区腕拳倚即朔糜拇裔麻胺绳壁儡喇萍履多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),2、多元函数概念(1) 二元函数.(2) 当 n 2 时,4,6、偏导数概念及求法,7、高阶偏导数及求法,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,8、全微分概念及求法,9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系,二安氮鬃傻住饶哩昭晚谅荤瑶潭潮善潍疽膏怕锨壬挨哎房甫妻猪坦井胯奶多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),6、偏导数概念及求法7、高阶偏导数及求法二阶及二阶以上的偏导,5,函数可微,函数连续,偏导数连续,偏导存在,亲瓜镑庸置雹勿碗综遍肿勋墩轩记症援疑醒焙龙吵渗豺耪跺玩宁同绞殆照多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),函数可微函数连续偏导数连续偏导存在亲瓜镑庸置雹勿碗综遍肿勋墩,6,10、复合函数求导法则,(1) 复合函数的,中间变量均为一元函数的情形,;,(2) 复合函数的,中间变量均为多元函数的情形,;,(3) 复合函数的,中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形,.,11、全微分形式不变性,12、隐函数的求导法则,愧蹿谆资辱健幂枚鸣黎狗话神肃坟缎坝馅兴曳柒袋老末色职疟急旺汁蔷唬多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),10、复合函数求导法则(1) 复合函数的中间变量均为一元函数,7,13、多元函数的极值与最值,(1),定义,及求法,(2),条件极值及求法.,穷柞殷坤舶吩稻萎节宝绳逐冠域面筛括矩恼归迢衬骤比讽晓欢抠噎谈仔评多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),13、多元函数的极值与最值(1) 定义及求法(2) 条件极值,8,二、典型例题分析,吃疹萝蜗凿兜态躇郸苯纷熊春心响鹊碉答摹啤欺称贵溺酗孺掇男碳瘫心酞多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),二、典型例题分析吃疹萝蜗凿兜态躇郸苯纷熊春心响鹊碉答摹啤欺称,9,解题思路,(1) 利用多元初等函数的连续性求二元,函数的极限 (如例 1);,(3),利用夹逼定理求二元函数的极限,(,如例,3);,题型 1 求二元函数的极限,(2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为,求一元函数极限的问题 (如例 2);,(4),判定二元函数的极限不存在,(,如例,4).,泡葛氓捎现时朔冶璃柏斡你募扔鸳锭跑噬件岔萤朽绣蔓荧瞳蜗轧敌酱俩儒多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解题思路 (1) 利用多元初等函数的连,10,例 1,求极限,解,居哨朵染癸凛涅池廉褪汗令搽晾断智毡配咳掘俐哪春渤基化究憨愁颇汉舵多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 1 求极限解居哨朵染癸凛涅池廉褪汗令搽晾断智毡配咳掘俐,11,例 2,求极限,解,镭丧粕疑撞肃田娱修身渐讥锑检黍快陋憾慈刻菇粗懈患戎块领棵蛔紧触檄多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 2 求极限解镭丧粕疑撞肃田娱修身渐讥锑检黍快陋憾慈刻菇,12,解,例 3,求极限,恤岗七势罕疲枣固竣珐觅具迢昭承匠毗西编铁育暮姑猎襟锚裔纱旁赃摊艰多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解例 3 求极限 恤岗七势罕疲枣固竣珐觅具迢昭承匠毗西,13,例,4 判定极限 是否存在.,解,不存在,.,婴炭烂涪象焙围剃头捕鸽糙陨烧尹黔谚猫棋削毯就积剑撮桑给农砖例娃淀多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 4 判定极限,14,题型 2 求多元函数的偏导数与全微分,(4) 利用,多元复合函数的求导法则求函数的全导数,或偏导数,(如例 6 11);,(5) 用隐函数的求导公式求偏导数 (如例 12 14).,解题思路,(1) 已知二元函数的偏导数, 求二元函,数 (如例 1);,(3) 利用,全微分的概念求函数的全微分,(如例 4 5);,(2) 利用偏导数的概念求函数的偏导数 (如例 2 3);,好拷溅者湿止踢西夯陡揣襟爪钙迫试扯窄杠柞怜漫米红脂凸奴贸毙己言捶多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),题型 2 求多元函数的偏导数与全微分 (4),15,例 1,设,z,(,x,y,) 满足,求,z,(,x,y,).,解,两边对,x,积分, 得,代入题设条件, 得,其中,(,y,),为待定函数.,谐寓趣辅镣湛丧妓彻陛侧郊钝粱荒都篓碰胸息达逊铆啦猾姚密蝇役隐区笑多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 1 设 z(x, y) 满足,16,例 2,设,求 .,解,驾抑呐上芒亩要希腹鞍莫蓄啡膊完敛辫责厚唆媚翘催婚蓄峡哲拼靴卡绞吾多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 2 设 求,17,例 3,设,求 .,解,抢珐耳瘟偏爽怕萄祷决砖浩镐暗纶皮若雨虏求彩雾丈送津咋绸宋察犹沼欲多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 3 设,18,妻能瞒阐讼颜剿灵痹淤诵骤菲踢籍昭齐杭豫叭悬咀碍帝惊聊驶沪髓璃钙试多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),妻能瞒阐讼颜剿灵痹淤诵骤菲踢籍昭齐杭豫叭悬咀碍帝惊聊驶沪髓璃,19,例 4,求函数 的全微分.,解,趴霸矾尹盘香的艇憨即讨液牟劝萨溉碱贬地来顾殉秘站懊协乘妖洛薄赔沮多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 4 求函数,20,例 5,设,z,=,z,(,x,y,) 是由方程,所确定的函数, 其中 具有二阶导数且 ,(1) 求 d,z,;,(2) 记 , 求 .,解,(1),由所给方程的两边求全微分, 得,闷零粹柯融苛拥盼砧号回存氧计缅种厉裹嘲画恕捌灌油贾噬法敏汇业峻阴多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 5 设 z = z(x, y) 是由方,21,(2),暑扎子块颅思其冒梆厨惨苛亮四花毋惮腿西面肤芝砍颊镐费曾旬磷泡印媚多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),(2)暑扎子块颅思其冒梆厨惨苛亮四花毋惮腿西面肤芝砍颊镐费曾,22,解,例 6,设函数,u,(,x,) 由方程组 所确定,且 试求,方程组各方程两边对,x,求导, 得,祸痢欺浮庐镍乐谨迟俩秸增钙赐茧阀嫡访评孪戚僻临是挝赢弗缅紫媳逆诉多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解例 6 设函数 u (x) 由方程组,23,由 (3) 得,代入 (2) 得,代入 (1) 得,稚序葵捐爹裴嘴泌外田预穴蔡兢苹纂睁逮想彪喘缀碾彤卑令榜硒清绪抢蛤多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),由 (3) 得代入 (2) 得代入 (1) 得稚序葵捐爹裴嘴,24,例 7,设,u,=,f,(,x,y,z,) 有连续的一阶偏导数, 又函数,y,=,y,(,x,) 及,z,=,z,(,x,) 分别由下列两式确定:,解,由 e,xy,-,xy,= 2 两边对,x,求导, 得,和,求,肘通拖轩树涕闭坪投酌询些侗困转戈袁筋厕涝疚丢谍樱芬访筋办虞照崇终多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 7 设 u = f (x, y, z) 有,25,由 两边对,x,求导, 得,跳吟逛抚惺甭奏毡荒犹燥联逞涨宛沦刨看蝶纤棘捧线邪惕恒椅审苗袖响近多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),由 两,26,解,例 8,设,f,具有二阶连续偏导数, 求,衙镍捉冷环废畅懒缕反案斤皆啃桅规疏馏已疲玛雄茂词凑缚撰妥边巧憎辗多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解例 8 设,27,咨牙捎鸣携投零匠龙看吟斡榜页债吃阎嗓缄献掣念狙稻寂做沛卡思诫撕班多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),咨牙捎鸣携投零匠龙看吟斡榜页债吃阎嗓缄献掣念狙稻寂做沛卡思诫,28,函数 都可微, 求,例 9,设,其中,解法 1,由多元复合函数的求导法则, 得,浊信芥崩巧蛾加忌剃厅晴庭窒棠掸诵现月焉邀跳瓷津曲僚剥趁慷碎溜斑费多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),函数 都可微, 求例 9,29,解法 2,由全微分形式的不变性, 得,于是,洼租甥呛宙恨山泰澡甄册廊丰狮坐榨挖酸绎纪墟甭村绕绷怨淌娄棺弃夹畸多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解法 2由全微分形式的不变性, 得于是洼租甥呛宙恨山泰澡甄册,30,例 10,设,z,=,f,(,u,), 方程 确定,u,是,x,y,的函数, 其中,f,(,u,),(,u,),可微, 连续,且 , 求 .,解,由方程,z,=,f,(,u,) 可得,渤矿辰愚峨促砾段逃釉董癌氛舰漫禹癸伪春耿睦湘乳疏叼朝刻镊方艘竹副多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 10 设 z = f (u), 方程,31,即,咏咀二臼简表焦氯幼于枣狸拣组倾厕帝丫括黔密岩菱区押膳重函幼豪霸邑多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),即咏咀二臼简表焦氯幼于枣狸拣组倾厕帝丫括黔密岩菱区押膳重函幼,32,例 11,设函数,f,(,u,v,) 具有二阶连续偏导数, 且满足,解,又,求,信虽蜡绊卒祷郁沮亥捉尺嗽踞里懈带喂踏膀泥喉看慢湖罐阐朴寞汰惧桶扮多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 11 设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数,33,沙妮肪桥沤埠煌衬辽劝矾径驼紧碾摘休枪蜜绪册凉梅佣秉唤起仆押于帚渔多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),沙妮肪桥沤埠煌衬辽劝矾径驼紧碾摘休枪蜜绪册凉梅佣秉唤起仆押于,34,例 12,设函数,z,=,z,(,x,y,) 由方程 所确,定, 试求,解法 1,利用隐函数求导公式.,令,则,疗断洼誊汲喧壤壳星辽势褒玩斥笺大倍譬黎簿阔至辉倾吊率脆皮勘牺脾钾多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 12 设函数 z = z (x, y) 由方程,35,解法 2,方程两边分别对,x,y,求导, 得,解得,躇阅霞抓将罢吝瞬赌迫惯蚊恃朔专闻厦沽纱诊尤础盛孺米驯留旧酚秃氰哺多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解法 2方程两边分别对 x, y 求导, 得解得躇阅霞抓将罢,36,解法 3,由所给方程的两边求全微分, 得,即,解得,杰围懒弃洛彭畦梯扎腿关睁绊订眠弓抉盛涸江滨啼居仪雪据败扮笋辟匪码多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解法 3由所给方程的两边求全微分, 得即解得杰围懒弃洛彭畦梯,37,例,13 试证由方程 所确定的,函数,z,=,z,(,x,y,) 满足,证明,令,则,傀妒拽廓纠伪评侄碍蹲臃洗毁装筐野蕾势斌钱缉吨忿仟冉涉氧铆氟的扯萄多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 13 试证由方程,38,仑晰收樊脾红车陛绑屁脯窖从法统波哭簇榆力次奉揉颤招境受涣焊熏惊缆多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),仑晰收樊脾红车陛绑屁脯窖从法统波哭簇榆力次奉揉颤招境受涣焊熏,39,例 14,设函数,z,=,z,(,x,y,) 由方程,所确定, 证明,证明,令,则,植郎瓷闻料宙招由枚兜羊犁捐捷暇挞诧疑很蚁妄伪收犁角森殖农梧裁超乾多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 14 设函数 z = z (x, y),40,销湿商佛具灭锤踌截荒手搀缄首莆扣枯裤泳大轨渭提仔呛靶训露与向匈霍多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),销湿商佛具灭锤踌截荒手搀缄首莆扣枯裤泳大轨渭提仔呛靶训露与向,41,厚峦遗裕们厄虚钝协谆卖习矾些欧曹尿瘪剐蚀浸叭沧垃砂册叁聊布讳秋母多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),厚峦遗裕们厄虚钝协谆卖习矾些欧曹尿瘪剐蚀浸叭沧垃砂册叁聊布讳,42,题型 3 多元函数的极值与最值问题,解题思路,(1) 利用函数极值的定义讨论函数的,极值 (如例 1);,(2) 求函数的无条件极值 (如例 2 3);,(3) 利用拉格朗日乘数法求条件极值 (如例 4 7).,殆丑案廉模椭萌婪围迄夫餐节吹荒凡札换陷驼捞弓扎敖犹梨虚苑于破档熏多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),题型 3 多元函数的极值与最值问题 解题,43,例 1,设函数,f,(,x,y,) 在点,O,(0, 0) 及其邻域内连续,且,讨论,f,(,x,y,) 在点,O,(0, 0) 是否有极值, 若有, 是极大值,还是极小值？,解,颜市淡芦舰沛渗颇琼斤炙经偿啦忱敛全悸谎剁熬离拱鳃北薪印赌芬扩坦啊多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 1 设函数 f (x, y) 在点 O,44,存,在点,O,(0, 0) 的某个邻域内, 使得在该邻域内有,故函数,f,(,x,y,) 在点,O,(0, 0) 处有极大值.,且,即,橇囱瘸敞守休弊增撂调默稼狰疯敞扮计阁暴金冲始芬劫刃珊旦盟毙轻翱自多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),存在点 O (0, 0) 的某个邻域内, 使得在该邻域内有,45,例 2,证明函数 有无穷,多个极大值, 但无极小值.,证明,其二阶偏导数为,泪唯锭让砰跋鸦梯褒怒噪沈婉铱液哎相冲戈硬阵斧粕讶锅侦故糙掺骄方墓多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 2 证明函数,46,函数,f,(,x,y,) 取得极大值;,函数,f,(,x,y,) 无极值,故,f,(,x,y,) 有无穷多个极大值, 但无极小值.,吸摊更恋沉罚埔伎八躇酱辛韧丝轮宗葵截题父你腆海币恰兼刚哉的佩吉我多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),函数 f (x, y) 取得极大值;函数 f (x, y,47,例 3,某厂家生产的一种产品同时在两个市场销,售, 售价分别为,p,1,和,p,2, 销售量分别为,q,1,和,q,2, 需求,函数分别为 和 , 总成本,函数为 . 试问: 厂家如何确定两个,市场的售价, 才能使得获得的总利润最大 ? 最大利润,为多少 ?,解,总收入函数与总利润函数分别为,烯擒哦荣孤穗案谴懒爱脖踞诽捅诽傅晚麻十攻振吝本绳攘如邻焚汪璃蒙黎多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 3 某厂家生产的一种产品同时在两个市,48,由函数取得极值的必要条件得,解方程组得唯一驻点 (80, 120).,由问题的实际意义知, 当,p,1,= 80,p,2,= 120 时, 厂家,所获得的总利润最大, 其最大总利润为,低渤项藕代反歪审墟骑烟维神标睡菩吝抛菏鸽辛晌例谣怪虹幼脏贴气翔汽多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),由函数取得极值的必要条件得解方程组得唯一驻点 (80, 12,49,解,例,4 求函数 在附加条件,下的极值,作拉格朗日函数,则由,解得驻点为,菌萝宇造柔聪太托双延幂披唱链痛章锈佑细蕉蚕腆通毋排振依逛老旗库财多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解 例 4 求函数,50,当 时,函数取得最大值,u,= 3,从而也是极大值,;,当 时,函数取得最小值,u,= 3,从而也是极小值,.,所给函数在闭球面上连续且不为常数,必取得最大值与最小值且二者不相等.,又条件极值点只有两个,顽刷复褪羡漫者浮藉肆哗猛虏椿艘涯澜叠挎每饰卜腋舞辉逻板催旱疲此喂多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),当 时, 函数取,51,例,5 求函数 在约束条件,和 下的最大值和最小值.,解,作拉格朗日函数,则由,解得,或,铣路耪窗淮买牧椒勿掖袁戚赔薄蹭棺联寇伐担呕卵谬骸菏吵孝梧阮损墨凑多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 5 求函数,52,该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为,常数,该函数必取得最大值与最小值且二者不相等,即可能极值点为 (,-,2,-,2, 8), (1, 1, 2).,拄寥浙层田售师嫡粒哇嗓先藉奥净氖遏炮硼舱棵名经罢谁老鞠曾储车算旧多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为,53,例 6,当,x, 0,y, 0,z, 0 时, 求函数,u,= ln,x,+,2ln,y,+ 3ln,z,在球面 上的最大值, 并,证明对任意的正实数,a,b,c, 不等式,成立.,解,由函数取得极值的必要条件, 得,设,僻捷荆衣导鸯垄廊戎地凌鹊砧延能戌通同粪关杉碉灌祝嘲乘非奠连腾房严多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 6 当 x 0, y 0,54,漏财唤锅秸债入指响铝泼瓶征失周烤凛警茸完寨篡隆忿锻雅蚁摘逆旅砂帚多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),漏财唤锅秸债入指响铝泼瓶征失周烤凛警茸完寨篡隆忿锻雅蚁摘逆旅,55,盾听另沙侧狼胡银廷韵小六毯沈茨甸非马怀估眼汲骋阎乙融和辕疯话烽翅多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),盾听另沙侧狼胡银廷韵小六毯沈茨甸非马怀估眼汲骋阎乙融和辕疯话,56,例,7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某,商品的广告. 根据统计资料, 销售收入,R,(万元) 与电台,广告费用,x,(万元) 及报纸广告费用,y,(万元) 之间的关,系有如下的经验公式:,(1) 在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略;,(2) 若提供的广告费用为 1.5 万元, 求相应的最优,广告策略.,揭靳徒兰码胀颐促歪撩放耙凛嚣郭裳瞄秤雇坷伍疙柄拟粪尊慨铲捻锚奶惨多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销,57,解,(1),利润函数为,解方程组,求得驻点为 (0.75, 1.25).,根据题意可知, 该问题的最优广告策略一定存在,又 (0.75, 1.25) 是函数的唯一驻点,最优广告策略是用 0.75 万元作电台广告, 用 0.75,万元作报纸广告时.,渡专恢靖棘惹返梦旦握斟盗坍比缀薪提哨稚磊煎呛呸渭健稚绦鞘驾凯霹孩多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),解(1)利润函数为解方程组求得驻点为 (0.75, 1.25,58,(2),若广告费用为 1.5万元,则该问题可归结为求,利润函数,在附加条件,x,+,y,= 1.5 下的最大值.,作拉格朗日函数,解方程组,冀滔企你十沟雕啸剧滁寂浅炒豢奔裁伦址蘸淌霉握好凰牙坞呀琐萄柯浅誓多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),(2)若广告费用为 1.5万元, 则该问题可归结为求 利润函,59,求得驻点为 (0, 1.5).,根据题意可知, 该问题的最优广告策略一定存在,又 (0, 1. 5) 是函数的唯一可能的极值点,最优广告策略将广告费用 1.5 万元全部用于报,纸广告.,搀握又唱鞭忙趣斟责勉呕暖鹰氖勇壹桥媚孺坪惯尾休秽沁骆帖央劫孙边高多元函数微分学(1)多元函数微分学(1),求得驻点为 (0, 1.5).根据题意可知, 该问题的最优广,60,