单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,隐函数的导数,定义,称为,隐函数,.,由方程,所确定的函数,形如,的函数称为,显函数,.,隐函数的显化,存在问题,(1),通常隐函数不易显化或不能显化,;,(2),隐函数的求导方法,?,隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,.,隐函数的导数定义称为隐函数.由方程所确定的函数形如的函数称为,1,例,1,求由下列方程所确定的函数的导数,.,解,得,整理得,解得,在题设方程两边同时对自变量,求导,例1求由下列方程所确定的函数的导数.解得整理得解得在题设方程,2,例,2,解,方程两边对,求导,解得,所以,求由方程,所确定的隐函,数,的导数,由原方程知,例2解方程两边对求导,解得所以求由方程所确定的隐函数的导数由,3,例,3,解,在题设方程两边同时对自变量,求导,得,解得,求由方程,所确定的函数,在点,处的切线方程,.,在点,处,例3解在题设方程两边同时对自变量求导,得解得求由方程所确定的,4,例,3,解,求由方程,所确定的函数,在点,处的切线方程,.,在点,处,例3解求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处,5,例,3,解,求由方程,所确定的函数,在点,处的切线方程,.,在点,处,于是,在点,处的切线方程为,即,例3解求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处于是,在点,6,例,4,解,设,求,在点,处的值,.,方程两边对,求导得,代入,得,将方程,(1),两边再对,求导得,代入,例4解设求在点处的值.方程两边对求导得代入得将方程(1)两边,7,例,4,解,设,求,在点,处的值,.,代入,得,将方程,(1),两边再对,求导得,代入,例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入,8,例,4,解,设,求,在点,处的值,.,代入,得,将方程,(1),两边再对,求导得,代入,得,例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入得,9,例,5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数,.,解,例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解,10,例,5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数,.,解,例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解,11,例,5,求由下列方程所确定的函数的二阶导数,.,解,代入,y,例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解代入y,12,对数求导法,问题的提出,函数,的求导问题,.,对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函,数的求导方法求出导数,.,适用于多个函数相乘,设,两边取对数得,的情形,.,指函数,和幂,两边对,求导得,对数求导法问题的提出函数的求导问题.对数求导法先在方程两边取,13,对数求导法,两边对,求导得,对数求导法两边对求导得,14,对数求导法,两边对,求导得,从而,对数求导法两边对求导得从而,15,例,6,解,等式两边取对数得,设,求,两边对,求导得,例6解等式两边取对数得设求两边对求导得,16,例,7,解,在题设等式两边取对数,等式两边对,求导,得,解得,设,求,例7解在题设等式两边取对数等式两边对求导,得解得设求,17,例,8,解,等式两边取对数得,设,求,上式两边对,求导得,例8解等式两边取对数得设求上式两边对求导得,18,例,9,解,求导数,例9解求导数,19,由参数方程所确定的函数的导数,若参数方程,确定,与,间的函数关系,称此,函数关系所表达的函数为,例如,存在问题,消参困难或无法消参如何求导,?,一般地,设,具有单调连续的反函数,由参数方程所确定的函数,.,由参数方程所确定的函数的导数若参数方程确定与间的函数关系,称,20,由参数方程所确定的函数的导数,存在问题,消参困难或无法消参如何求导,?,一般地,设,具有单调连续的反函数,由参数方程所确定的函数的导数存在问题消参困难或无法消参如何求,21,由参数方程所确定的函数的导数,存在问题,消参困难或无法消参如何求导,?,一般地,设,具有单调连续的反函数,设函数,都可导,且,则由,复合函数及反函数的求导法则得,则变量,与,构成复合函数关系,即,由参数方程所确定的函数的导数存在问题消参困难或无法消参如何求,22,由参数方程所确定的函数的导数,即,由参数方程所确定的函数的导数即,23,由参数方程所确定的函数的导数,即,若函数,二阶可导,则,即,由参数方程所确定的函数的导数即若函数二阶可导,则即,24,例,10,所表示,解,求由参数方程,的函数,的导数,.,例10所表示解求由参数方程的函数的导数.,25,例,11,解,求由摆线的参数方程,所表示的函数,的二阶导数,.,例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.,26,例,11,解,求由摆线的参数方程,所表示的函数,的二阶导数,.,例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.,27,例,11,解,求由摆线的参数方程,所表示的函数,的二阶导数,.,例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.,28,例,12,表示的函数的,二阶导数,.,解,求由方程,例12表示的函数的二阶导数.解求由方程,29,例,13,如果不计空气阻力,则抛射体的运动轨迹的,抛射体初速度的水平、铅直分量,参数方程为,是重力加速度,是飞行时间,.,求抛射体在时刻,的运动速度的大,其中,分别是,小和方向,.,解,因为速度的水平分量和铅直分量分别为,例13 如果不计空气阻力,则抛射体的运动轨迹的抛射体初速度的,30,解,因为速度的水平分量和铅直分量分别为,解因为速度的水平分量和铅直分量分别为,31,解,因为速度的水平分量和铅直分量分别为,所以抛射体的运动速度的大小为,而速度的方向就是轨道的切线方向,.,若,是切线与,则根据导数的几何意义,有,轴正向的夹角,或,解因为速度的水平分量和铅直分量分别为所以抛射体的运动速度的大,32,例,14,方程,.,解,将极坐标方程化为参数方程,得,于是,求心形线,在,处的切线,例14方程.解将极坐标方程化为参数方程,得于是求心形线在处,33,例,14,方程,.,解,于是,求心形线,在,处的切线,例14方程.解于是求心形线在处的切线,34,例,14,方程,.,解,于是,求心形线,在,处的切线,所以曲线上对应于参,又当,时,数,的点处的切线方程为,即,例14方程.解于是求心形线在处的切线所以曲线上对应于参又当时,35,例,15,解,如图,得,求心形线,的,和,由,于是,例15解如图,得求心形线的和由于是,36,相关变化率,设,都是可导函数,及,之间存在某种关系,而变量,与,从而它们的变化率,间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率,称为,相关变化率,.,相关变化率问题,:,与,之,研究这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率,.,相关变化率设都是可导函数,及之间存在某种关系,而变量与从而它,37,例,17,一长为,5,米的梯子斜靠在墙上,.,如果梯子下端,以,0.5,米,/,秒的速率滑离墙壁,试求梯子下端离墙,3,米时,梯子上端向下滑落的速率,.,解,如图,的距离,函数,.,于是,得,表示梯子下端离墙,表示梯子上端到地面,的,这里,都是时间,两边对,求导,的距离,墙,地面,例17一长为5米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以 0.5 米,38,解,如图,于是,得,两边对,求导,墙,地面,解如图,于是 得两边对求导,墙地面,39,解,如图,于是,得,两边对,求导,墙,地面,代入得,即,注意到,以及,(,米,/,秒,),即梯子上端向下滑落的,速率为,(,米,/,秒,),.,解如图,于是 得两边对求导,墙地面代入得即注意到以及,(米/,40,例,18,河水以,8,米,/,秒的体流量流入水库中,状是长为,4000,米,问水深,20,米,水面每小时上升几米,?,解,如图,顶角为,的水槽,求导得,上式两边对,水库形,时,水槽横截面图,水面上升之速率,.,米,/,小时,米,/,小时,当,米时,例18河水以8米/秒的体流量流入水库中,状是长为4000米,41,1.,用对数求导法则求函数,的导数,.,2.,水注入深,8,米，,上顶直径,8,米的圆锥形容器中，,其速率为每分钟,4,立方米，,当水深为,5,米时，,其表面,上升的速率为多少？,课堂练习,1.用对数求导法则求函数的导数.2.水注入深8米，上顶直径,42,1.,用对数求导法则求函数,的导数,.,解,1.用对数求导法则求函数的导数.解,43,2.,水注入深,8,米，,上顶直径,8,米的圆锥形容器中，,其速率为每分钟,4,立方米，,当水深为,5,米时，,其表面,上升的速率为多少？,解,设水面高为,米时，,水面圆的,半径为,米，,上顶半径,则,由,相似三角形得,2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟,44,2.,水注入深,8,米，,上顶直径,8,米的圆锥形容器中，,其速率为每分钟,4,立方米，,当水深为,5,米时，,其表面,上升的速率为多少？,解,2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟,45,2.,水注入深,8,米，,上顶直径,8,米的圆锥形容器中，,其速率为每分钟,4,立方米，,当水深为,5,米时，,其表面,上升的速率为多少？,解,而,以,代入上式得,答,表面上升的速度为,2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟,46,