单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学总复习,2009年6月7日,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学总复习2009年6月7日机动 目录 上页,1,高等数学复习简介,向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；,二元函数的极限;,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；,多元隐函数求导，曲面的切平面方程；,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；,方向导数，多元函数的条件极值问题；,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；,利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法；,曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；,常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学复习简介向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴,2,向量的方向余弦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与三坐标轴的夹角,为其,方向角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,向量的方向余弦机动 目录 上页 下页 返回,3,向量的运算,设,1.,向量运算,加减,:,数乘,:,点积,:,叉积,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量的运算设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动,4,2.,向量关系,:,2. 向量关系:,5,平面与直线（包括坐标轴）的位置关系,主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；,问题根源仍然是对向量关系的正确理解；,平面与直线（包括坐标轴）的位置关系主要通过向量间的关系来衡量,6,面与面的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,1,、线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1、线面之间的相互,7,直线,2、线与线的关系,直线,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线2、线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动 目录,8,平面,:,垂直：,平行：,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:垂直：平行：夹角公式：3.面与线间的关系直线:机动,9,实例分析,例,1.,求与两平面,x ,4,z =,3,和,2,x y ,5,z,= 1,的交线,提示,:,所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点,(3 , 2 , 5),的直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,实例分析例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x,10,例2.,求直线,在平面,上的投影直线方程,.,提示,：,过已知直线的平面束方程,从中,选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平,11,例3.,设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦,.,提示,:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,例3. 设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线,12,例1,求曲线,绕,z,轴旋转的曲面与平面,的交线在,xoy,平面的投影曲线方程,.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,面的投影柱面方程为,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面,13,例2.,直线,绕,z,轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程,.,提示,:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.直线绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 提示,14,二元函数的极限,方法:,主要根据定义求极限、讨论极限；,利用定义求导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的极限方法:机动 目录 上页 下页,15,例,1.,设,求证：,证,：,故,总有,要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设求证：证：故总有要证机动 目录 上页,16,例,2,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,例2 证明 不,17,确定极限,不存在,的方法：,确定极限不存在的方法：,18,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,根据定义,必要条件,充分条件,反例,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系多元函,19,思考题,思考题,20,提示,:,利用,故,f,在,(0,0),连续,;,知,在点,(0,0),处连续且偏导数存在,但不可微,.,1. 证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示: 利用 故f 在 (0,0) 连续;知在点(0,0),21,而,所以,f,在点,(0,0),不可微,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而所以 f 在点(0,0)不可微 !机动 目录 上页,22,多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分,隐函数的一阶求导方法：,公式法;,推导法;,注意两者的区别;,隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分隐函数的一阶,23,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）,1.,复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.,全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）1. 复合函数求导的,24,思考题,思考题,25,思考题解答,思考题解答,26,例1.,设,其中,f,与,F,分别具,解法,1,方程两边对,x,求导,得,有一阶导数或偏导数,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设其中 f 与F分别具解法1 方程两边对 x 求,27,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程,主要利用书中结论:,即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程主要利用书中结论:,28,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得机动,29,例,2,.,设,有二阶连续偏导数,且,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设有二阶连续偏导数, 且求解:机动 目录 上页,30,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案,:,( 2001,考研 ）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习3.,设,有连续的一阶偏导数 , 及分别由下两式确定求又函数答案:(,31,例3,.,设,解法,1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,例3. 设解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页,32,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录,33,为简便起见,引入记号,例4.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解,:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,34,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是,?,曲面的切平面方程 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量,35,曲面,在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,曲面 在点 M 的法向量法线方程切平面方程复习 目录,36,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面时, 则在点故当函数 法线方程令特别, 当光滑曲面 的,37,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量,38,例1,.,求球面,在点,(1 , 2 , 3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1 , 2 , 3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线,39,方向导数与梯度问题,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度问题 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方,40,2.,梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度在方向,l,上的投影,.,2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的,41,指向,B,( 3,2 , 2),方向的方向导数是,.,在点,A,( 1 , 0 , 1),处沿点,A,1.,函数,提示,:,则,(,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是,42,2,.,函数,在点,处的梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数在点处的梯度解:则注意 x , y , z 具有轮,43,解,令,故,方向余弦为,解令故方向余弦为,44,故,故,45,多元函数的条件极值问题,多元函数的条件极值问题,46,高等数学下册复习-ppt课件,47,例1.,在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点,.,解,:,设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平,48,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题,.,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,问题归结为求在条件下的条件极值问题 .设拉格朗日函数机动,49,令,由实际意义可知,为所求切点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唯一驻点,令由实际意义可知为所求切点 .机动 目录 上页,50,例2.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,例2.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一,51,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在 ,故机动 目,52,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换,交换积分次序（X型、Y型、极坐标）选择或填空题目,大题里也可能有,需要先交换次序然后在计算积分,二重积分计算（直角坐标和极坐标）,奇偶对称性的运用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换交换积分次序（,53,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(,先积一条线,后扫积分域,),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积,54,作题注意事项,确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现。,坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所确定。,若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，积分限不变。,作题注意事项确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的问题，,55,总结规律,选择适当的坐标系，是二重积分中应当首先考虑的重要问题。一般来说，应根据积分区域和被积函数的特征来综合考虑：,（1）当区域D为中心在原点的圆形、扇形或圆环形等；被积函数为x,2,+y,2,的函数时选用极坐标系；,（2）当区域为矩形、三角形等直线形区域时选用直角坐标系。,总结规律选择适当的坐标系，是二重积分中应当首先考虑的重要问题,56,例1.,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 如图所示交换下列二次积分的顺序:解:机动 目录,57,例2 .,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 . 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示:,58,例,3,解,先去掉绝对值符号，如图,例3解先去掉绝对值符号，如图,59,例4.,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直,60,(2),积分域如图:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得机,61,利用三重积分计算立体体积,三重积分的”先二后一”计算方法,被积函数为1的三重积分几何上表示立体的体积,方法:投影法(先单后重),利用三重积分计算立体体积,三重积分的”先二后一”计算方法被积,62,例,1,解,例1 解,63,例2.,计算三重积分,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域,.,提示,:,利用柱坐标,原式,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线所围成的闭区,64,例3.,解,:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.解: 在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 机,65,曲线积分、格林公式,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线积分、格林公式曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 (,66,(1),利用对称性简化计算,;,(2),利用积分与路径无关的等价条件,;,(3),利用格林公式,(,注意,加辅助线的技巧,) ;,(4),利用两类曲线积分的联系公式,.,基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对称性简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等,67,例1.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法,1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径的上半圆周,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法1 令,68,解法2,它与,L,所围区域为,D,(,利用格林公式,),思考,:,(2),若,L,同例,2 ,如何计算下述积分,:,(1),若,L,改为,顺时针方向,如何计算下述积分,:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2) 若,69,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:(1)(2)机动 目录 上页 下页,70,曲面积分、高斯公式,曲面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),转化,二重积分,(1),统一积分变量,代入曲面方程,(2),积分元素投影,第一类,:,始终非负,第二类,:,有向投影,(3),确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面积分、高斯公式曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐,71,基本技巧,(1),利用对称性简化计算,(2),利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(,辅助面一般取平行坐标面的平面,),(3),两类曲面积分的转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本技巧(1) 利用对称性简化计算(2) 利用高斯公式注意公,72,例1.,设,是曲面,解,:,取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xoy,平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设 是曲面解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧,73,第二项添加辅助面,再用高斯公式,计算,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二项添加辅助面, 再用高斯公式机动 目录 上页,74,例2.,证明,:,设,(,常向量,),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设 ,75,例3.,计算曲面积分,其中,解,:,思考,:,本题,改为椭球面,时,应如何,计算,?,提示,:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算曲面积分其中,解:思考: 本题 改为椭球面时,76,数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理,判别是针对选择题，绝对收敛与条件收敛；,收敛区间、收敛半径是针对填空题；,幂级数求和函数是针对大题中的计算题；,傅立叶级数的收敛定理使用一般是最后一道大题，计算时验证是否满足条件，满足后才进行展开（注意收敛点和非收敛点的不同）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛半径，幂级数求和,77,数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2,78,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法,:,若,且,则交错级数,收敛,概念,:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法: 若且则,79,求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,求下列级数的敛散区间,:,练习,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R,80,解,:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛,.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为,81,解,:,因,故收敛区间为,级数收敛,;,一般项,不趋于,0,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 机,82,例1.,解,:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数,=,其收敛半径,注意,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原,83,求部分和式极限,幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,直接求和,:,直接变换,间接求和,:,转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法,:,分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求部分和式极限幂级数和函数的求法 求和 映射变换法,84,例2.,求幂级数,法,1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为机动 目录,85,练习:,解,:,(1),显然,x,= 0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数,86,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束,87,显然,x,= 0,时,和为,0 ;,根据和函数的连续性,有,x,=,1,时,级数也收敛,.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 ,88,例,3,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3解机动 目录 上页 下页 返回 结束,89,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,90,由上式得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由上式得机动 目录 上页 下页 返回 结,91,温馨提示,填空题、选择题是得分重点，会做的一定仔细的做正确；,三大题是基本题目，决定是及格、不及格还是高分；,三大题后的，尽量做，即使不会做，也要根据题目内写上所用相关公式；,总之，会做的题目尽量准确；,不会的题目尽量写上所用相关公式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,温馨提示填空题、选择题是得分重点，会做的一定仔细的做正确；机,92,注意,注意学校通知，查看考前答疑时间；,祝大家都考出好的成绩，过一个愉快的假期！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意注意学校通知，查看考前答疑时间；祝大家都考出好的成绩，过,93,