单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,阜师院数科院,*,第三章,幂级数展开,复数项级数；,变项级数（函数级数）；,幂级数；,幂级数对复变函数研究的应用：,泰勒级数；,洛朗级数，函数的奇异性研究。,11/19/2024,阜师院数科院,第三章 幂级数展开复数项级数；10/7/2023阜师,1,3.1 复数项级数,级数是,无穷项的和,1.级数的收敛和柯西判据,复无穷级数,每一项为,收敛,如果极限,存在并有限,收敛：,11/19/2024,阜师院数科院,3.1 复数项级数级数是无穷项的和1.级数的收敛和柯西判据,2,充要条件是其实部与虚部都收敛,柯西判据,：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小的正整数 ，必存在一,N,使得,n,N,时有,式中,p,为任意正整数。,11/19/2024,阜师院数科院,充要条件是其实部与虚部都收敛柯西判据：复数项级数收敛的充要条,3,2.绝对收敛,收敛。,两个绝对收敛的,和,，,积,，仍绝对收敛。,3.复变项级数,的每一项都是复变函数。,实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。,则原级数 收敛。,11/19/2024,阜师院数科院,2.绝对收敛收敛。两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。3.,4,复变项级数有一个,定义域 B,。它的收敛的概念应当是,相对于这个定义域,而言的。,收敛,复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。,它满足柯西判据：,复数项级数收敛的充要条件是，对于一小正整数 ，必存在一,N(z),使得,n,N(z),时有,11/19/2024,阜师院数科院,复变项级数有一个定义域 B。它的收敛的概念应当是相对于这个,5,一致收敛,当,N,与 z 无关时。,即对,B,中所有点 给定 ，就有一个统一的,N,使判据得到满足。,一致收敛的级数的每一项若为,连续函数,，级数也将是,连续函数,。在一条曲线上可以逐项积分。,绝对一致收敛,在区域 B 中，复数项级数的各项满足,而数项级数,收敛。,即在各点都,绝对收敛,11/19/2024,阜师院数科院,一致收敛当 N 与 z 无关时。即对 B 中所有点 给定,6,给定,收敛，但与 z 的位置有关。,11/19/2024,阜师院数科院,给定 收敛，但与 z 的位置有关。10/7/2023,7,3.2 幂级数,幂函数的复变项级数,对于各复常数,级数,叫以 为中心的幂级数。,1.定义,(3.2.1),z,0,11/19/2024,阜师院数科院,3.2 幂级数幂函数的复变项级数对于各复常数级数叫以,8,2.收敛的,达朗贝尔判据,研究(3.2.1)的 模的如下级数,满足,则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1),绝对收敛,。,(3.2.1),(3.2.2),11/19/2024,阜师院数科院,2.收敛的达朗贝尔判据研究(3.2.1)的 模的如下级数,9,则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1),绝对收敛,。,3.收敛圆,记,有,11/19/2024,阜师院数科院,则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1),10,收敛圆,R 叫,收敛半径,，以 为圆心，R 为半径的圆叫幂级数的,最简单的收敛区域。保证幂级数在圆,内,的点上绝对收敛，而在圆,外可能,发散。,圆外仍有区域是收敛的,。,根值判别法,(3.2.2)收敛，(3.2.1)绝对收敛。,(3.2.2)发散，(3.2.1)发散。,故当 ，(3.2.1),绝对收敛,。,当 ，(3.2.1),可能发散,。,11/19/2024,阜师院数科院,收敛圆R 叫收敛半径，以 为圆心，R 为半径的圆,11,故,例,(1),解：,收敛半径:,收敛圆内部为,其实，,对于,11/19/2024,阜师院数科院,故例(1)解：收敛半径:收敛圆内部为其实，对于10/7/20,12,(2),但对于,显然级数发散。,解：,收敛圆,实际上对于,4.幂级数的积分表示,利用,柯西公式,在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C 中幂级数,绝对一致收敛,，故可沿这个圆逐项积分。,11/19/2024,阜师院数科院,(2)但对于显然级数发散。解：收敛圆实际上对于4.幂级数的,13,记 C上点为 ，而C内任一点为 z，则圆上的幂级数为,利用,柯西公式,得,而,有界，,11/19/2024,阜师院数科院,记 C上点为 ，而C内任一点为 z，则圆上的幂级数,14,又乘以,幂级数在收敛圆内可任意,逐项求导,。还可以,逐项积分,。,11/19/2024,阜师院数科院,又乘以幂级数在收敛圆内可任意逐项求导。还可以逐项积分。10/,15,3.3 泰勒级数展开,具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数。复变函数中的,解析函数具有无限阶导数,，故应可展开为泰勒级数。,定理,设 在以 为圆心的圆 内解析，则对圆内任意点 ，可展开为,其中,证明：,又,11/19/2024,阜师院数科院,3.3 泰勒级数展开具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数,16,#,关键在确定 ，但这不是唯一的方法,例,(1),解：,#,能直接求导就求导,11/19/2024,阜师院数科院,#关键在确定 ，但这不是唯一的方法例(1)解：#能,17,(2),解：,#,11/19/2024,阜师院数科院,(2)解：#10/7/2023阜师院数科院,18,(3),是,多值函数,，各分支在支点 相连。但 不是支点，在其 的邻域各分支相互独立。因此，我们可以只讨论展开的主值。,解：,11/19/2024,阜师院数科院,(3)是多值函数，各分支在支点,19,主值,#,(4),解：,定义,显然,11/19/2024,阜师院数科院,主值#(4)解：定义显然10/7/2023阜师院数科院,20,11/19/2024,阜师院数科院,10/7/2023阜师院数科院,21,是,主值,，此时有,即,二项式定理,。,#,方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办法，仍是逐级求导。,11/19/2024,阜师院数科院,是主值，此时有即二项式定理。#方法与实函数同，但应注意主值。,22,(5),极点在,11/19/2024,阜师院数科院,(5)极点在10/7/2023阜师院数科院,23,不同的幂级数,在,不同的区域,与函数,相同,。这里存在什么样的关系？,设,在小圆,在大圆,。,问题在于,11/19/2024,阜师院数科院,不同的幂级数 在不同的区域与函数 相同。这,24,3.4 解析延拓,例如,和,等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。注意，等式的左边仅在收敛圆内有意义，但等式的右边除,t,=1（前一个）或 ,在整个复平面上解析。因此，问：已知 ，求 在 之外的 F(t)。,这个答案是已知的,11/19/2024,阜师院数科院,3.4 解析延拓例如和等式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛,25,于是提出问题：已知,f,(,z,)在,b,中解析，是否存在,F,(,z,)在,B,中解析 ，且在,b,中,F,(,z,)=,f,(,z,)。这个过程叫,解析延拓。,解析延拓的方法,在 b 中取点 ，又取 的一个邻域，j将 f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。,可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是,唯一,的。这样，可以采 用某些,最方便的方法,来进行解析延拓。,11/19/2024,阜师院数科院,于是提出问题：已知 f(z)在 b 中解析，是,26,在点 z,0,收敛、绝对收敛。,在定义域,，收敛、一致收敛、绝对一致收敛,级数,幂级数,11/19/2024,阜师院数科院,在点 z0收敛、绝对收敛。在定义域，收敛、一致收敛、绝对一致,27,泰勒级数,解析函数,解析延拓,是否可以将一个解析函数的,解析区域扩大,？,在收敛圆内可,逐项积分,可作为被积函数，被积函数,不一定是解析函数,。,11/19/2024,阜师院数科院,泰勒级数解析函数解析延拓是否可以将一个解析函数的解析区域扩大,28,3.5 洛朗展开,泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？,(2),泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可包含奇点，但若研究一个级数，,它以圆环作收敛区域,，则奇点可以取作圆心，它在收敛环之外。,这种级数为,洛朗级数,泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现在负幂项，故考虑有负幂的级数,1.,收敛环,11/19/2024,阜师院数科院,3.5 洛朗展开泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在函数,29,设其收敛半径为 ，则其在圆 外部收敛。,故此级数在 收敛。这个区域叫,收敛环,。,其中正幂部分 的收敛半径为 。负幂部分写作,11/19/2024,阜师院数科院,设其收敛半径为 ，则其在圆 外部收,30,2.,定理,设 f(z)在环形区域 的内部单值解析，则在环内任一点 z，f(z)可以展开为幂级数,其中,证：,沿,11/19/2024,阜师院数科院,2.定理设 f(z)在环形区域,31,沿,两个积分回路的方向相反，由柯西定理，沿 的积分可变为沿 的积分（差一个负号）如下,#,此为,洛朗展开,在奇点附近的展开,11/19/2024,阜师院数科院,沿两个积分回路的方向相反，由柯西定理，沿 的积,32,3.,例,(1),在 的邻域展开 。,f,(,z,)无定义。但,在挖去原点的环域（整个复平面）中,又,此级数又可以看作,f,(,z,)的到整个复平面的解析延拓。,利用泰勒展开,11/19/2024,阜师院数科院,3.例(1)在 的邻域展开,33,(2),在环域 中将 展开。,还是利用泰勒展开,f(z)的奇点不是Z=0，而是z=1,-1。,(3),在 的邻域将 展开。,(z-1)的幂级数,在,11/19/2024,阜师院数科院,(2)在环域 中将,34,(4),利用,取,得,无限多负幂,11/19/2024,阜师院数科院,(4)利用取得无限多负幂10/7/2023阜师院数科院,35,(5),习题 14,z,的幂级数,A.,B.,11/19/2024,阜师院数科院,(5)习题 14z 的幂级数A.B.10/7/2023阜师院,36,3.6 孤立奇点的分类,孤立奇点,f,(,z,)除在 的 小邻域外处处可导。,在挖去的 小邻域 外解析。其正幂叫,解析部分,，负幂叫,主要部分,。叫,留数,C.,11/19/2024,阜师院数科院,3.6 孤立奇点的分类孤立奇点f(z)除在 的,37,可去奇点,幂级数无负幂项时的,极点,幂级数仅含有限,m,个负幂项时的,M 为极点的阶，一阶极点称,单极点,本性奇点,含无穷多负幂项时的,例(1)中,为可去奇点,例(3)中出现,一阶极点,。留数为,例(4)中出现本性奇点。留数为,11/19/2024,阜师院数科院,可去奇点幂级数无负幂项时的极点幂级数仅含有限 m 个负幂项时,38,例(5)中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇点，留数为,情况 C 中出现本性奇点，留数为,小结,：复变函数存在两种基本的幂级数展开，在,解析点附近邻域的泰勒展开,和在,奇点附近的洛朗展开,。泰勒展开,只有正幂项,，而洛朗展开,含有负幂项,。根据负幂项可以判断孤立奇点的种类。,11/19/2024,阜师院数科院,例(5)中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇点，,39,阶段总结,柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零,。,洛朗展开,？,留数定理,11/19/2024,阜师院数科院,阶段总结柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分,40,