单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,1,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线,C,的变化而改变,求这个值.,2,3,二、柯西积分公式,定理,证,4,上不等式表明,只要,R,足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与,R,无关。,6,所以只需证,证毕,柯西积分公式,即可,两边关于 取极限，则得证,7,关于柯西积分公式的说明:,把函数在,C,内部任一点的值用它在边界上的,值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积,分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分,表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),8,(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,证：,10,（4）与,CG,定理一样，柯西积分公式的条件也可放宽为：,若 在简单闭曲线,C,所围成的区域及,C,上解析，结论一样.而且对于复合闭路也成立,即,若 的内部为复连通域，为全部内边界曲线，在 所围区域和,C,上解析时，有,11,由柯西积分公式,13,例3,解,由柯西积分公式,15,例,解,根据柯西积分公式知,16,例5,解,18,由闭路复合定理,得,例5,解,19,课堂练习,答案,20,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西,古萨基本定理,它的重要性,在于:,一个解析函数在区域内部的值可以用它在,边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函,数的重要工具.,柯西积分公式:,21,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?,22,