,*,学海无涯,向量方法部分,向量方法部分,1,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,空间空间空间空间加减共线空间知识结构夹角和距离,2,1、空间直角坐标系,以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向 为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个,空间直角坐标系,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,1、空间直角坐标系以单位正方体,3,右手直角坐标系,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,右手直角坐标系空间直角坐标系Oxyz横轴纵轴竖轴,4,2、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（x,y,z）叫做点M在此,空间直角坐标系中的坐标，,记作M（x,y,z）,其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标,点M,（X，Y，Z）,2、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y,z）叫做点M,5,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,4、平面的法向量,n,3、直线的方向向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,6,1、假设平面法向量的坐标为,n,=(x,y,z).,2、根据,na=0,且,nb=0,可列出方程组,3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量,n,的坐标.,a,n,b,5、平面法向量的求法,设a=(x,1,y,1,z,1,)、b=(x,2,y,2,z,2,)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).3、取某一个变,7,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量,解：,平面ABC的法向量为:,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-,8,例、在棱长为2的正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O是面AC的中心,求面OA,1,D,1,的法向量.,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），,则O（1，1，0），A,1,（0，0，2），D,1,（0，2，2），,设平面OA,1,D,1,的法向量的法向量为n=(x,y,z),由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）得,解得,取z=1得平面OA,1,D,1,的法向量的坐标n=(2,0,1),A,A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面,9,5、两法向量所成的角与二面角的关系,设n,1,、n,2,分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n,1,、n,2,夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.,5、两法向量所成的角与二面角的关系设n1、n2分别是二面角,10,二、基本公式：,1、两点间的距离公式（线段的长度）,2、向量的长度公式（向量的模）,二、基本公式：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长,11,3、向量的坐标运算公式,3、向量的坐标运算公式,12,4、两个向量平行的条件,5、两个向量垂直的条件,或,4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或,13,7、重心坐标公式,6、中点坐标公式,7、重心坐标公式6、中点坐标公式,14,9、直线与平面,所成角公式,(,为,的法向量),8、直线与直线所成角公式,10、平面与平面所成角公式,(为二面角两个半平面的法向量）,9、直线与平面所成角公式(为 的法向量)8、直线与直线所成,15,11、点到平面,的距离公式,（PM为平面 的斜线,为平面 的法向量）,12、异面直线的,距离公式,（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）,11、点到平面的距离公式（PM为平面 的斜线,16,利用向量求角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角（二面角）,利用向量求距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所,17,利用向量证平行,利用向量证垂直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面,18,四、基本方法,1、平行问题,四、基本方法1、平行问题,19,、垂直问题,、垂直问题,20,、角度问题,、角度问题,21,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。,、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的,22,例：,题型一：线线角,五、典型例题,例：题型一：线线角五、典型例题,23,所以：,题型一：线线角,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系 如图所示，,不妨设 则,C,|,|,所以 与 所成角的余弦值为,所以：题型一：线线角解：以点C 为坐标原点建立空间C|所以,24,题型二：线线垂直,题型二：线线垂直,25,题型三：线面角,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,即,在长方体 中，,例：,题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体,26,题型三：线面角,N,又,例：,在长方体 中，,题型三：线面角N又例：在长方体,27,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,例,.,在正方体AC,1,中，E为DD,1,的中点，求证：DB,1,/面A,1,C,1,E,E,F,题型四：线面平行,x,y,z,即,ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中,28,D,A,C,B,B,C,D,A,F,E,X,Y,Z,题型五：线面垂直,或先求平面BDE的法向量 再证明,DACBBCDAFEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的,29,题型六：面面角,设平面,x,y,z,题型六：面面角设平面xyz,30,X,Y,Z,例：在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：面A,1,BD面CB,1,D,1,题型七：面面平行,或先求两平面的法向量 再证明,XYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1,31,例、在正方体AC,1,中，E、F分别是BB,1,、CD的中点，,求证：面AED面A,1,FD,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,X,Y,Z,题型八：面面垂直,或证明两平面的法向量垂直,例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，ABC,32,练习,练习,33,练习,练习,34,练习,练习,35,练习,练习,36,练习,练习,37,题型九：异面直线的距离,z,x,y,A,B,C,C,1,即,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A,1,B,1,题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-,38,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,题型十：点到平面的距离,ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离,39,练习,练习,40,练习,练习,41,练习,练习,42,练习,练习,43,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。,求证：PE AF；,求点D到平面PEF的距离；,求直线AC到平面PEF的距离；,求直线PA与EF的距离；,求直线PA与EF所成的角；,求PA与平面PEF所成的角；,求二面角A-PE-F的大小。,A,B,C,D,E,F,P,x,y,z,练习,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD,44,