单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1,引言,第一章 引 论,定义,1.1,随机过程,就是一族随机变量,其中,t,是参数,它属于某个指标集,T,T,称为,参数集,.,一般地,t,表示时间,.,当,T,=0,1,2,时称随机过程为,随机序列,.,1.1 引言第一章 引 论定义1.1 随机,1,对,X,(,t,),可以这样看,:,随机变量是定义在空间,上的,所以是随,t,与,而变化的,.,于是可以记为,X,(,t,).,当固定一次随机试验,即取定,0,时,X,(,t,0,),就是一条样本路径,.,它是,t,的函数,;,另一方面,固定时间,t,=,t,0,X,(,t,0,),就是一个随机变量,其取值随着随机试验的结果而变化,变化有一定的规律,用概率分布来描述,.,对X(t)可以这样看:,2,随机过程在,t,时刻的值称为过程所处的状态,状态的全体称为,状态空间,.,依照状态空间不同可分为,连续状态,和,离散状态,;,依照参数集,T,当,T,为有限集或可数集则称为,离散参数过程,否则称为,连续参数过程,.,当,T,是高维向量时称,X,(,t,),为,随机场,.,随机过程在t时刻的值称为过程所处的状态,状态的全体称为状态空,3,例,1.1,英国植物学家,Brown,注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的运动,这种运动叫做,Brown,运动,.,它是一个随机过程,.,Brown,运动是分子大量随机碰撞的结果,.,若记,(,x,t,y,t,),为粒子在平面坐标上的位置,则它是平面上的,Brown,运动,.,例1.1 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子,4,例,1.2,若某人在一个直线格子点上,从原点出发进行行走,规则如下,:,掷一枚硬币,若正面向上则前进一个格子,;,若反面向上则后退一个格子,.,以,X,(,t,),表示他在,t,时刻所在的位置,则,X,(,t,),就是一种直线上的,随机游动,.,-2 -1 0 1 2 3,例1.2 若某人在一个直线格子点上,从原点出发进行行走,5,例,1.3,到达总机交换台的呼叫次数为,Poisson,过程,.,每次呼叫是相互独立的,而间隔时间服从指数分布,.,交换台在同一时间只能接通,K,个呼叫,.,人们常要了解在某一时刻的排队长度以及呼叫的平均等待时间,.,这是一种,排队模型,.,该模型可以应用于对超市、公交车站的管理或服务研究。,例1.3 到达总机交换台的呼叫次数为Poisson过程.每次,6,例,1.4,流行病学的研究中有如下模型,:,在时刻,0,时易感人群大小为,X,(0),Y,(0),是已受传染的人数,.,假定易感人群被传染的概率为,p,则经过一段传染周期后,(,记为单位时间,),X,(0),中有,X,(1),没有染上病而,Y,(1),却受到传染,.,传染过程一直蔓延到再没有人会染上这种流行病时停止,.,于是,且当时 有,X(t),t=1,2,就是以上式为状态转移概率的,Markov,过程,.,例1.4 流行病学的研究中有如下模型:在时刻0时易感人群大,7,例,1.5,记,X,(,t,),为时刻,t,的商品价格,.,若,X,(,t,),适合线性模型,其中 为实参数,Z,(,t,),为独立同分布的不可观测的随机变量,则,X,(,t,),服从,ARMA,模型,自回归滑动平均模型,.,这是在经济预测中十分有用的时间序列模型,.,例1.5 记X(t)为时刻t的商品价格.若X(t)适合线性模,8,有限维分布和数字特征,对于随机过程,过程的一维,均值函数,为,过程的,方差函数,为,过程的,一维分布,为,有限维分布和数字特征对于随机过程,9,过程的,自相关函数,为,过程的,协方差函数,为,对于随机过程,其中随机变量 与 的关系有,X,(,t,1,),与,X,(,t,2,),的联合分布为,即过程在,t,1,t,2,两个不同时刻值的,联合二维分布,.,过程的自相关函数为过程的协方差函数为对于随机过程,10,自相关函数和协方差函数性质,:,1.,对称性,即对任何,s,t,有,2.,非负定性,即对任何,t,1,t,2,t,n,T,及任意系数,b,1,b,2,b,n,有,自相关函数和协方差函数性质:1.对称性,即对任何s,t,11,对于随机过程,其,有限维分布族,为,有限维分布的性质,:,1.,对称性,2.,相容性,对于随机过程 ,其有限维分布,12,例,1.6,记,X,n,为第,n,次独立地扔一枚骰子的结果,则,X,n,n,1,为一随机过程,.,参数集,T,为,1,2,而状态空间为,1,2,3,4,5,6.,均值函数为,:,协方差函数为,:,任何有限维分布,:,其中,F,(,x,),为,X,1,的分布函数,.,例1.6 记Xn为第n次独立地扔一枚骰子的结果,则Xn,13,平稳过程和独立增量过程,如果一个随机向量 与另一个随机向量 有相同的联合分布函数,则称这两个随机向量是,同分布,的,记为,.,定义,1.2,如果随机过程,X,(,t,),对任意的,t,1,t,n,T,和任何,h,有,则称,X,(,t,),为,严格平稳的,.,平稳过程和独立增量过程如果一个随机向量,14,定义,1.3,如果随机过程,X,(,t,),的所有二阶矩存在,并且,E,X,(,t,)=,m,及协方差函数,R,X,(,t,s,),只与时间差,t,-,s,有关,则称,X,(,t,),为,宽平稳的,或,二阶矩平稳的,.,对于宽平稳过程,由于对,-,s,t+,R,X,(,t,s,)=,R,X,(0,t,-,s,),所以可以记之为,R,X,(,t,-,s,).,显然对所有,t,R,X,(,t,)=,R,X,(-,t,),即为偶函数,.,定义1.3 如果随机过程X(t)的所有二阶矩存在,并且EX,15,定义,1.4,对任意的,t,1,t,2,t,n,且,t,1,t,n,T,如果随机变量,X,(,t,2,)-,X,(,t,1,),X,(,t,3,)-,X,(,t,2,),X,(,t,n,)-,X,(,t,n-1,),是相互独立的,则称,X,(,t,),为,独立增量过程,.,如果进一步有对任意的,t,1,t,2,则称,X,(,t,),为,平稳独立增量过程,.,定义1.4 对任意的t1t2tn且t1,tnT,16,例,1.7,设,Z,i,i,=0,1,2,是一串独立同分布的随机变量,定义,则,X,n,n,0,就是独立增量过程,.,一般称,X,n,为,独立和,.,练习,:,证明平稳独立增量过程的均值函数一定是,t,的线性函数,.,例1.7 设Zi,i=0,1,2,是一串独立同分布的,17,证明提示,:,1.,2.,3.,4.,证明提示:,18,课外作业：,1.Page 11 Ex1,2.Page 12 Ex2,，,3,，,4,课外作业：,19,